- •Кафедра автоматизированных систем управления
- •1.2. Упражнения
- •2. Практическое занятие №2. Решение слау. Вычисление определителей и обратных матриц. Вычисление норм векторов и матриц, чисел обусловленности матриц
- •2.1. Краткие теоретические сведения
- •2.1.1. Методы решения слау
- •2.1.2. Вычисление определителей и обратных матриц
- •2.1.3. Вычисление норм векторов и матриц, чисел обусловленности матриц
- •2.2. Упражнения
- •3. Практическое занятие №3. Определение собственных чисел и собственных векторов матрицы
- •3.1. Краткие теоретические сведения
- •3.2. Упражнения
- •4. Практическое занятие №4. Численное дифференцирование
- •4.1. Краткие теоретические сведения
- •4.2. Упражнения
- •5. Практическое занятие №5. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •5.1. Краткие теоретические сведения
- •5.2. Упражнения
- •6. Индивидуальное домашнее задание
- •6.1. Темы и порядок выбора задания
- •6.2. Содержание отчета по индивидуальному заданию
- •7. Литература
- •Численные методы
5. Практическое занятие №5. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
5.1. Краткие теоретические сведения
Рассмотрим задачу получения приближенных решений обыкновенных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями.
Пусть имеется обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) первого порядка ,x [x0, b] с начальным условием y(x0) = y0, где – заданная, в общем случае нелинейная функция двух переменных. Выполняются требования, обеспечивающие существование и единственность на заданном отрезке решения y = y(x). Рассмотрим некоторые методы решения данной задачи, называемой задачей Коши [2].
Метод последовательных приближений (метод Пикара).
Интегрируя левую и правую части уравнения в границах отx0 до x, получаем равенство . Решение полученного интегрального уравнения можно получить методом простых итераций:
, и т.д. В общем виде:
где n = 0, 1, 2, … и y0(x) = y0.
Если в некоторой односвязной области G, содержащей точку (x0, y0), |f(x,y)| C, |fy(x,y)| C1, метод сходится, и справедлива оценка погрешности:
.
Метод Эйлера.
Пусть вычисления проводятся с расчетным шагом h = (b-x0)/n, расчетными точками (узлами) служат точки xi = x0+ih (i = 0,1,…,n) промежутка [x0, b]. Целью является построение таблицы (см. табл. 1) приближенных значений yi решения y = y(x) задачи в расчетных точках xi.
Таблица 1
Таблица метода Эйлера
-
x
x0
x1
…
xn=b
y
y0
y1
…
yny(b)
Т.к. в точке x0 известно и значение решения y(x0) = y0, и значение его производной y(x0) = f(x0, y0), можно записать уравнение касательной к графику искомой функции y = y(x) в точке (x0, y0):
. (11)
При малом шаге h ордината этой касательной, полученная подстановкой в правую часть (11) значенияx1 = x0 + h, мало отличается от ординаты y(x1) решения y(x) задачи. Точка (x1, y1) пересечения касательной (11) с прямой x = x1 может быть приближенно принята за новую начальную точку. Этот процесс определяется формулой , и называется методом Эйлера или методом ломаных [2].
Исправленный метод Эйлера.
Пусть найдено приближенное значение решения рассматриваемой задачи и требуется вычислить, где. После разложения решения по формуле Тейлораp-го порядка в окрестности точки xi и выполнения подстановки x = xi+1, получается равенство:
. (12)
Учет только первых двух слагаемых дает обычный метод Эйлера. Если учесть третье слагаемое, можно получить формулу исправленного метода Эйлера:
.
Шаговая погрешность метода O(h3).
Методы Рунге-Кутта.
Методы Рунге-Кутта p-го порядка предполагают получение приближений к значениям f(xi+1) по формуле вида
, (13)
где – некоторая функция, приближающая отрезок ряда Тейлора (12), которая не содержит частных производных функции f(x, y). Для построения методов Рунге-Кутта второго и т.д. порядков функция берется многопараметрической, а ее параметры подбираются сравнением (13) с многочленом Тейлора для y(x) степени, соответствующей выбранному порядку.
Пусть p = 2 и имеет структуру
.
Пусть с2 = (0). Определены следующие величины остальных параметров: с1 = 1-, a = b = 1/2. Однопараметрическое семейство методов Рунге-Кутта второго порядка определяется формулой:
.
При = 1/2 получается формула метода Хьюна:
,
при = 1 – формула метода средней точки: .