- •Кафедра автоматизированных систем управления
- •1.2. Упражнения
- •2. Практическое занятие №2. Решение слау. Вычисление определителей и обратных матриц. Вычисление норм векторов и матриц, чисел обусловленности матриц
- •2.1. Краткие теоретические сведения
- •2.1.1. Методы решения слау
- •2.1.2. Вычисление определителей и обратных матриц
- •2.1.3. Вычисление норм векторов и матриц, чисел обусловленности матриц
- •2.2. Упражнения
- •3. Практическое занятие №3. Определение собственных чисел и собственных векторов матрицы
- •3.1. Краткие теоретические сведения
- •3.2. Упражнения
- •4. Практическое занятие №4. Численное дифференцирование
- •4.1. Краткие теоретические сведения
- •4.2. Упражнения
- •5. Практическое занятие №5. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •5.1. Краткие теоретические сведения
- •5.2. Упражнения
- •6. Индивидуальное домашнее задание
- •6.1. Темы и порядок выбора задания
- •6.2. Содержание отчета по индивидуальному заданию
- •7. Литература
- •Численные методы
2.1.2. Вычисление определителей и обратных матриц
Формулы Крамера в общем случае не могут применяться для вычисления определителей и обратных матриц, так как связаны «проклятьем размерности». Одним из методов вычисления определителя квадратной вещественной матрицы A является метод Гаусса. Преобразования прямого хода в нём таковы, что не изменяют определителя матрицы А. Т.к. определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов, определитель матрицы равен произведению всех ведущих элементов в соответствующей схеме Гаусса . Для его получения следует выполнить действия прямого хода метода Гаусса для системы Ax = 0.
Если матрица A – симметричная, для вычисления определителя можно воспользоваться методом квадратных корней: A = TT, матрица T – треугольная, см. (5), поэтому .
Метод Гаусса применяется для вычисления элементов обратной матрицы А-1 квадратной неособенной матрицы А:
, .
Для этого используется соотношение АА-1 = E (E – единичная матрица): при умножении матрицы А на А-1 и приравнивании каждого элемента произведения соответствующему элементу матрицы E, получается система из n2 уравнений с n2 неизвестными xij (i, j = 1, 2, …, n). В частности, при почленном умножении каждой строки матрицы А на первый столбец матрицы А-1 и приравнивании произведений элементам первого столбца E получается система:
.
В целом образуется n систем уравнений, имеющих одну и ту же матрицу A, с n неизвестными. Решение по методу Гаусса всех систем можно объединить в одной схеме, рассматривая одновременно n столбцов свободных членов.
Если матрицу A можно разложить в произведение A = DC двух треугольных матриц D и С, общий вид которых показан в (4), обратная матрица может быть найдена в виде A-1 = C-1D-1.
2.1.3. Вычисление норм векторов и матриц, чисел обусловленности матриц
Для оценки погрешностей решения СЛАУ и других задач линейной алгебры, определения их обусловленности необходимо уметь вычислять нормы вектора и матрицы, числа обусловленности матриц.
Часто используемыми нормами являются р-нормы и ∞-норма (норма-максимум, кубическая норма): и. В вычислительных методах наиболее употребительными изр-норм являются следующие две нормы: ,. Первая называется нормой-суммой, норму ||x||2 называют евклидовой (или сферической) нормой.
Каждой из векторных норм ||x|| соответствует своя подчиненная норма матрицы A. Известно, в частности, что нормам ||x||1, ||x||2, ||x||∞ подчинены нормы ||A||1, ||A||2, ||A||∞, вычисляемые по формулам:
,
где – собственные числа симметричной матрицы. ЕслиА – симметричная матрица, то . Поэтому для нее.
Для оценки величины ||A||2 можно использовать неравенство: ||A||2≤||A||F, где – величина, называемая нормойФробениуса или евклидовой нормой матрицы A.
Стандартным числом обусловленности (или просто числом обусловленности) матрицы А называется величина ν(A) или cond(A), вычисляемая по формуле (для любой из норм, в частности, любой из перечисленных выше):
.
Величина cond(A) является широко используемой количественной мерой обусловленности системы Ах = b. В частности, систему и матрицу принято называть плохо обусловленными, если cond(A) >> 1.