N = |
2D t |
» |
τ / To |
= |
No |
= |
1 |
. |
(2.51) |
T |
|
|
|
||||||
|
|
B |
B |
m |
|
||||
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
При В>>1 центральный лепесток имеет вид узкого корреляционного пика. Отношение τ / 2 t = B называется коэффициентом сжатия.
а |
б |
Рис.2.14. Автокорреляционная функция ЛЧМ-сигнала (а) и ее спектр (б)
при N0=40, В=5 и m = 1/ 8
2.4. Амплитудно-угловая модуляция (АУМ)
При АУМ согласно (2.1) и (2.2) сигнал можно представить как
|
|
|
S( t ) = U( t ) F( t ) , |
(2.52) |
||
где |
F( t ) = CosΨ ( t ) = Cos ( ωot + ϕo + ϑ( t )) . |
(2.53) |
||||
|
По спектральной теореме о произведении функций спектр сигнала S(t) |
|||||
есть свертка спектров U(w)ÛU(t) и F(w)ÛF(t): |
|
|||||
|
|
1 |
|
1 |
∞ |
|
|
S( w) = |
|
U( w) Ä F( w) = |
|
òU( n )F( w - n )dn . |
(2.54) |
|
2p |
2p |
||||
|
|
|
−∞ |
|
||
Если функция F(t) периодическая с периодом Т=2p ¤ W , то ее можно предста- вить рядом Фурье с комплексными амплитудами Fn на частотах ωn = ωo + nΩ :
|
N |
|
|
F( t ) = åFn e j ωn t , |
(2.55) |
|
n=−N |
|
|
N |
|
и тогда |
S( t ) = åU( t ) Fn e jωn t . |
(2.56) |
n=−N
31
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Эту запись можно трактовать как сумму гармоник F e j ωn t |
, каждая из кото- |
n |
|
рых модулируется сигналом U(t), в результате чего спектр U(ω) переносится на частоты ωn , вокруг которых возникают парциальные спектры
Sn( ω) = FnU( ω − ωn ) . Общий спектр будет равен их сумме
N |
N |
|
S( ω) = åSn( ω) = |
åFn U( ω − ωn ). |
(2.57) |
n=−N |
n=−N |
|
Если с тем же периодом Т периодична и амплитуда, то и ее можно представить рядом Фурье с комплексными амплитудами Um :
|
M |
|
|
|
|
U( t ) = åUm e j m Ω t . |
|
(2.58) |
|
|
m=−M |
|
|
|
|
M |
N |
ωmn t , |
|
Тогда |
S( t ) = U( t )F( t ) = å |
åUmFm e j |
(2.59) |
|
|
m=−M n=−N |
|
|
|
где |
ωmn = ωn + mΩ = ωo + ( m + n )Ω |
|
(2.60) |
|
есть частоты парциальных гармоник результирующего спектра. Их число равно
N mn = 2( N + M ) − 1. |
(2.61) |
Вид спектра оказывается достаточно сложным. Частные случаи при той или иной симметрии функций U(t) и ϕ(t) описаны в табл.1. Пример сигнала с периодическими функциями U(t) и ϑ(t) показан на рис.2.15.
а |
б |
в |
Рис.2.15. |
АУМ-сигнал (а) и его спектры (б,в) |
при |
U( t ) = 1 + mCos Ω t, ϑ( t ) = β Sin Ω t , m = 0.7 , β = 7, Ω = ωo / 10
32
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Если U(t) и ϑ(t) непериодические, то спектр S(ω) получается сплошным (пример на рис.2.16).
Рис.2.16. Одиночный АУМ-сигнал с пилообразной АМ
илинейной ЧМ с базой В=5
Внекоторых случаях удается сделать сопоставимую оценку сигнала и его спек- тра. Например, из рис.16 видно, что модуль спектральной плотности почти ли- нейно растет с ростом частоты, что соответствует увеличению текущей ампли- туды колебаний сигнала с уменьшением длительности текущего периода.
2.5.Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ)
При АИМ (рис.17) роль несущего колебания F(t) выполняет периодиче- ская с периодом To последовательность импульсов той или иной формы I(t):
∞ |
|
F( t ) = åI( t − k To ), |
(2.62) |
k =−∞ |
|
модулируемая по амплитуде сиг- |
|
налом U(t): |
|
S( t ) = U( t ) F( t ) . |
(2.63) |
В качестве импульсов могут ис- пользоваться прямоугольные, тре- угольные, дельта или какие-либо другие. Спектр функции F(t) - дискретный ωn = nωo с шагом
|
ωo = 2π / To |
и |
огибающей |
|
I( ω) / To , по форме |
совпадающей |
|
Рис.2.17. Сигнал с АИМ |
со спектральной плотностью несу- |
||
33
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
щих импульсов. Спектр сигнала S(t), как и при АУМ (2.54), представляет сверт- ку спектров F( ω) F( t ) и U( ω) U( t ) . Возле каждой из гармоник
ωn = nωo , выполняющих теперь роль как бы несущих частот, формируются парциальные спектры Sn( ω) , получаемые переносом спектра U(ω) на частоты
ωn и умножения их на Fn = 1 I( ωn ) :
T0
Sn( w) = Fn U( w - wn ). |
(2.64) |
Если функция U(t) непериодическая, то парциальные спектры будут сплошны- ми, если U(t) периодическая U( t ) = U( t + T ), то спектры Sn ( w) - дискретные с
шагом Ω = 2Tp , определяемым периодом функцииU(t) (рис.2.18).
а б Рис.2.18. Спектры АИМ-сигналов при непериодической (а)
и периодической (б) функциях U(t)
Во избежание перекрытия парциальных спектров интервал между ними должен быть не меньше, чем полоса частот, занимаемая сигналом U(t):
wo ³ 2wmax .
Каждому парциальному спектру Sn( w) соответствует свое парциальное АМ- колебание Sn( t ) с несущей частотой nwo и огибающей U(t). Восстановить функцию U(t) можно, если выделить So( t ) , пропустив АИМ-колебание через
фильтр нижних частот или с помощью полосового фильтра, если выделить ко- лебание Sn( t ) и продетектировать его.
34
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com