1.3. Гармонический анализ непериодических сигналов
Устремив период T → ∞ , приходим к модели непериодического (одиночного) сигнала. При этом интервал ω1 между спектральными линиями
уменьшается до |
бесконечно |
малого |
w = |
2π |
|
® dw и спектр становится |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
T |
|
|
|
|
|
|
сплошным. Суммы в формулах переходят |
в |
|
интегралы, |
коэффициенты |
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
Ak , Bk , Ck → A(ω), |
B(ω), C(ω), |
|
и вместо формулы (9) получаем |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dw |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
C( w) = |
|
ò S( t )e− jωtdt = dC( w). |
(1.16) |
|||||||||||||||
|
2p |
|||||||||||||||||||
Отсюда находим |
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dC( w) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
= |
|
|
òS( t )e− jω tdt = |
|
|
S( w). |
(1.17) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Величина |
|
dw |
2p −∞ |
|
|
|
2p |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− jω tdt |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
S( w) = |
òS( t )e |
|
|
|
|
(1.18) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называется спектральной плотностью сигнала S( t ). Ряд (1.8) переходит в |
||||||||||||||||||||
интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
S( t ) = |
|
ò S( w)e jω tdw. |
|
|
|
|
|
(1.19) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2p −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Формулы (1.18) и (1.19) образуют пару интегральных преобразований Фурье, связывающих сигнал и его спектр. Символически это изображается так:
S( ω) S( t ).
Размерность спектральной плотности равна [S(ω)] = [S(t)] = [S(t)].с.
Ãö
По аналогии с формулами (1.10) – (1.12) спектральную плотность можно представить в виде
S(ω) = A(ω) − jB(ω) = S(ω)
|
ì |
|
∞ |
|
ï A( w) = |
ò S( t )Coswt dt |
|
где |
ï |
|
−∞ |
í |
|
∞ |
|
|
ï |
|
|
|
B( w) = |
òS( t )Sinwt dt , |
|
|
ï |
||
|
î |
|
−∞ |
S(ω) = 
A2 (ω) + B(ω)2 , ϕ(ω)
e jϕ(ω) ,
,
= −arctg BA((ωω)) .
(1.20)
(1.21)
(1.22)
8
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Функции |
A(ω) è |
|
S(ω) |
|
÷åòí û å, à B(ω) и ϕ(ω) н ечетн ы е. По аналогии с |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
формулами (1.14) и (1.15) теперь будет |
||||||||||||||
|
1 |
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
∞ |
|||||
S(t) = |
ò |
(A(ω)Cos ωt + B(ω)Sin ωt) dω = |
ò ( |
|
S(ω) |
|
Cos(ωt + ϕ(ω))dω. (1.23) |
|||||||
|
|
|||||||||||||
2π |
2π |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|||||
Установим связь между спектрами одиночного и периодического сигналов, совпадающих на интервале, равном периоду Т (рис.1.4).
а |
б |
Рис.1.4. Периодический (а) и одиночный (б) сигналы с одинаковой формой огибающей их спектров
С этой целью для |
одной и той же частоты ω = ωk сравним |
значения |
||||
Ck = C( ωk ) и S( ωk ). |
Используя (1.9) и (1.18), находим что |
|
||||
|
C |
k |
= |
1 |
S( ω ) . |
(1.24) |
|
|
|||||
|
|
|
T |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Они совпадают с точностью до коэффициента 1/T. Другими словами, спектральные линии периодического сигнала можно находить как выборки из кривой S( ω) / T на частотах ωk . Это позволяет свойства спектров одиночных
сигналов переносить на спектры периодических сигналов.
9
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
1.4. Свойства спектров (спектральные теоремы )
Из преобразований Фурье следует ряд свойств спектров. Некоторые из них без выводов приводятся ниже. Сигнал S(t) предполагается действительным.
∙ Спектр несимметричного сигнала - комплексный, эрмитово
сопряженный. Его реальная часть А(ω) есть функция четная, а мнимая |
В(ω) - |
|
нечетная: |
|
|
|
S( t ) A( ω)− jB( ω) . |
(1.25) |
∙ |
Спектр четного сигнала – действительный и четный: |
|
|
S(t) = S(−t) A(ω) = A(−ω). |
(1.26) |
∙ |
Спектр нечетного сигнал – мнимый и нечетный: |
|
|
S(t) = − S(−t) − j B(ω) = j B(−ω) . |
(1.27) |
∙ Обращение сигнала во времени приводит к обращению спектра по частоте:
S (−t) S (−ω) . |
(1.28) |
∙ Значение спектра при ω = 0 определяется площадью сигнала: |
|
∞ |
|
S( ω = 0 ) = òS( t ) dt . |
(1.29) |
−∞ ∙ Спектр суммы сигналов равен сумме их спектров (теорема сложения):
åαiSi( t ) åαiSi( ω) . |
(1.30) |
|
i |
i |
|
∙ При сдвиге сигнала на τ фаза его спектра изменяется на -ωτ (теорема запаздывания):
S( t − τ ) S( ω)e− j ωτ . |
(1.31) |
∙ При умножении сигнала на e j ωot его спектр, не меняя своего вида, смещается на величину ωo (теорема смещения):
S( t )e j ωo t S( ω − ω |
. |
(1.32) |
o ) |
|
|
10
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com