· Расширению сигнала во времени соответствует сужение его спектра
(теорема расширения): |
1 |
|
|
t ö |
|
|
|
æ |
|
||||
S( at ) Û |
|
|
Sç |
|
÷ . |
(1.33) |
a |
|
|
||||
|
|
è a ø |
|
|||
· При взятии |
производной |
от сигнала |
его спектр |
умножается |
на |
jω |
||||||||||||||
(теорема о производной): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
dS( t ) |
Û j wS( w), |
|
d nS( t ) |
Û ( j w )n S( w) |
. |
|
(1.34) |
|||||||||||
|
|
dt |
|
|
dtn |
|
|
|
|
|||||||||||
· Взятие интеграла от сигнала соответствует делению спектра на |
j ω |
|||||||||||||||||||
(теорема об интеграле): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||||
t |
|
|
|
|
1 |
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
æ |
1 |
ö |
|
|
|
ò |
|
|
|
|
|
ò |
|
|
ò |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
|||||||
|
S( t ) dt Û |
|
S( w ) , |
|
|
..... |
|
|
|
S( t )dt Û ç |
|
÷ S( w) . |
(1.35) |
|||||||
−∞ |
|
j w |
|
−∞ |
|
−∞ |
|
è j wø |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
14243 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n
·Спектр произведения двух сигналов равен свертке их спектров (теорема
опроизведении сигналов):
|
1 |
|
∞ |
|
|
S1 ( t )S2 ( t ) Û |
S1 ( w) Ä S2 ( w) = |
ò S( n ) S( w - n )dn . |
(1.36) |
||
2p |
|||||
|
|
−∞ |
|
||
|
|
|
|
·Спектр свертки двух сигналов равен произведению их спектров (теорема
освертке):
|
∞ |
|
S1( t ) |
Ä S2( t )= ò S( t )S( t - t )dt Û S1( w)S2( w) . |
(1.37) |
|
−∞ |
|
· Теорема дуальности о взаимозаменяемости частоты f и времени t: |
|
|
Если |
F( t ) S( f ), то F( f ) S( −t ) . |
(1.38) |
1.5 Спектры некоторых видеосигналов
Видеосигналами в отличие от радиосигналов называют сигналы без высокочастотного заполнения. Определение это, не являясь строгим, общепринято и интуитивно понятно. В данной работе изучаются спектры распространенных видеосигналов: d-импульсов, прямоугольного, треугольного и гауссового
11
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
.1.5.1. Дельта-сигналы
Математической моделью сигнала очень короткой длительности является бесконечно узкая и бесконечно высокая, но с конечной площадью, δ(t)-функция Дирака. Амплитудой δ-функции называется ее площадь (реально - площадь сигнала). Спектр δ(t) сплошной и для функции единичной амплитуды, располагающейся в начале координат (рис.1.5,а), равен 1:
|
|
δ( t ) S( ω) = 1 . |
|
|
|
(1.39) |
|||
S (t) |
δ (t) |
|
|
|
S (t) |
A δ (t – t0) |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
t0 |
t |
||
|
0 |
t |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
1 S (ω) |
|
|
|
A |
| S (ω) | |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
ω |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
ω |
||
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
ϕ = - ω t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Рис.1.5. Дельта-импульсы и их спектры: |
|
|
||||||||||
а – единичный в начале координат; |
б – смещенный на t0 с амплитудой A |
||||||||||||
|
Для импульса с амплитудой |
|
A , |
смещенного на t = |
t0 (рис.5,б), будем |
||||||||
иметь: |
|
|
|
|
|
|
A e− j ωto . |
|
|
|
|||
|
A δ( t − t |
) |
|
(1.40) |
|||||||||
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Спектр совокупности некоторого числа δ-импульсов на основании |
||||||||||||
теоремы сложения (1.30) |
равен |
|
|
|
e− j ω ti . |
|
|
|
|
||||
|
S( ω) = å A i |
|
|
(1.41) |
|||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Периодическая последовательность δ-импульсов с периодом Т |
||||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S( t ) = åδ( t − k T ) |
|
|
|
|
|||||||
имеет линейчатый спектр |
|
k =−∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
2π |
|
|
|
||||
|
|
S( ω) = |
|
|
|
å δ( ω − |
|
k ). |
(1.42) |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
T k =−∞ |
T |
|
|
|
||||
Понятие энергии для δ-импульса не определено.
12
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
1.5.2. Прямоугольный импульс
Сигнал прямоугольной формы – один из наиболее широко используемых на практике (рис.1.6).
а |
б |
||
Рис. 1.6. Прямоугольный импульс (а) и его спектр (б) |
|||
Спектр прямоугольного импульса описывается формулой |
|||
S( ω)= So |
Sin x |
, |
(1.43) |
|
|||
|
x |
|
|
где x = ωτ / 2; So = H τ − п ло щ ад ь и м п ульса. |
|
||
Спектр бесконечен, имеет лепестковый характер, |
ширина лепестка f =1/ τ. |
||
Энергия сигнала E = H 2 τ . В центральном лепестке сосредоточено 90% всей
энергии. При синтезе по спектру для удовлетворительного воспроизведения формы сигнала необходимо учитывать 4 или 5 лепестков, в чем надлежит убедиться при выполнении работы.
1.5.3. Треугольный импульс
Сигналы треугольной формы (рис.1.7), как и прямоугольной, также достаточно широко используются на практике.
а |
б |
Рис.1.7. Треугольный импульс (а) и его спектр (б)
13
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Он может рассматриваться как свертка двух прямоугольных импульсов длительностью t. Отсюда следует, что согласно теореме о свертке (1.37) его спектр равен произведению спектров (1.43) этих импульсов:
|
æ |
Sin x ö |
2 |
|
|
S( w)= So |
ç |
|
÷ |
, |
(1.44) |
|
|||||
|
è |
x ø |
|
|
|
где x =ωτ/ 2; So = H τ − ï ëî ù àäü cèãí àëà.
Лепестки спектра (1.44) треугольного импульса той же ширины, что у прямоугольного, но все они положительные и затухают гораздо быстрее. Поэтому эффективная ширина его спектра значительно меньше чем прямоугольного. В центральном лепестке сосредоточено 99,7% всей энергии сигнала, и для хорошего воспроизведения формы треугольника при синтезе достаточно учесть частоты только этого лепестка.
1.5.4. Гауссов импульс |
|
|
|
|
|
|
Многие явления природы, |
|
в том числе и сигналы, описываются |
||||
функцией, называемой гауссовой (рис1.8): |
ö2 |
|
||||
|
|
æ t |
|
|||
|
1 |
-p ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
||||
S( t ) = |
e è t |
ø . |
(1.45) |
|||
|
||||||
t
а |
б |
Рис.1.8. |
Функция Гаусса (а) и ее спектр (б) |
Теоретически протяженность функции бесконечна, однако вследствие затухания практически ее можно ограничить значениями от -t до t, где уровень сигнала уменьшается до 4,3% от максимального. Площадь под кривой равна 1.
14
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Функция эта во многих отношениях замечательная. Так, она сама и все ее производные есть функции абсолютно гладкие. Ее спектральная функция также является гауссовой:
æ w ö2 |
|
|
|
|
|||
- p ç |
|
÷ |
, |
Ω = 2π |
|
. |
(1.46) |
|
|
||||||
S( ω) = e è |
Ω ø |
τ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Гауссовой оказывается и автокорреляционная функция, а так называемая база
|
B = |
Tэф ω'эф , |
|
(1.47) |
|||||||
выражаемая через |
эффективные |
длительнось |
сигнала и полосу частот его |
||||||||
спектра, равные |
Tэф = |
τ |
, |
ωэф = |
|
Ω |
|
, |
имеет наименьшее из |
всех |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
π |
|
|
π |
|
|
||||
возможных для сигналов значение В = 1. |
|
|
|
|
|
|
|||||
В полосе частот до Ω заключена практически вся энергии сигнала. |
Этой |
||||||||||
полосы достаточно для очень хорошего воспроизведения формы сигнала при синтезе.
В теоретическом плане гауссов сигнал занимает одно из центральных мест.
15
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com