|
|
S(t) =UoCos(ωot + ϕo) + |
||
N |
m |
m |
||
+ å |
k |
Uo Cos((ωo + Ωk )t + Φk + ϕo) + |
k |
UoCos((ωo − Ωk )t − Φk + ϕo). (2.23) |
|
2 |
|||
k=1 2 |
|
|||
Совокупности верхних и нижних боковых частот образуют одноименные поло- сы. Полный спектр располагается в пределах от ωo − ΩN до ωo + ΩN , и его
ширина равна 2ΩN .
Частным случаем многотональной модуляции является модуляция перио- дическим сигналом с периодом Т, когда функция CM(t) может быть разложена в
ряд Фурье
N |
|
2π |
|
|
|
CM ( t ) = CM ( t + T ) = Uo + å |
Uk Cos( |
k t + Φk ) . |
(2.24) |
||
|
|||||
k =1 |
|
T |
|
||
|
|
|
|
||
В этом случае спектр получается эквидистантным с интервалом Ω = 2π / T , и его ширина равна 2NΩ . Пример такого сигнала показан на рис.2.6.
Рис.2.6. Сигнал с периодической модуляцией, и его комплексный спектр
2.2.4.Модуляция непериодическим сигналом
Вэтом случае спектр АМ-сигнала получается сплошным. Его общий вид показан на рис.2.4.
2.3.Угловая модуляция
2.3.1. Общие соотношения
Колебание с угловой модуляцией имеет вид |
|
|
|
S( t ) = UoCos ( ωot + ϕo + ϑ( t )) . |
(2.25) |
УМ называют |
частотной (ЧМ), если по закону модуляции изменяется час- |
|
тота Δω ~ UM (t) |
и фазовой (ФМ), если по закону модуляции изменяется фаза |
|
24 |
|
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Δϑ(t) ~ UM (t). Между ЧМ и ФМ есть сходства и различия. Чтобы легче про- следить их, будем вести параллельные записи в левой и правой половинах страницы, а общие положения записывать по ее центру.
Фазовая модуляция |
|
|
|
|
Частотная модуляция |
|
|||||
ϑ( t ) = k U M ( t ). |
|
(2.26) |
|
|
ω( t ) = k U M ( t ) . |
(2.27) |
|||||
|
|
|
|
|
На основании формул (2.3) |
|
|||||
ω( t ) = |
dϑ( t ) |
= k |
dU M |
( t ) |
. |
(2.28) |
|
|
ϑ( t ) = k òU M ( t ) dt . |
(2.29) |
|
|
|
||||||||||
dt |
|
dt |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.3.2. Гармоническая (однотональная) |
|
УМ |
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||||
Этот вид УМ является простейшим, для него |
|
||||||||||
|
|
|
|
U M ( t ) = U M Cos( Ω t + Φo ) , |
(2.30) |
||||||
где Ω и Φо – частота и начальная фаза сигнала модуляции. |
|
||||||||||
С учетом формул (2.26) - (2.29) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ϑ( t ) = β Sin ( Ω t + Φ ), |
(2.31) |
|||||
|
|
|
|
|
ω( t ) = |
ωCos( Ω t + Φ ). |
(2.32) |
||||
Здесь β и Δω - параметры сигнала. Параметр β, равный девиации фазы, называ- ется индексом угловой модуляции, а параметр Δω - девиацией частоты.
β = kUM , |
(2.33) |
Δω = kUM , |
(2.34) |
Δω=β Ω , |
(2.35) |
β =Δω /Ω , |
(2.36) |
Φ = Φo+π / 2 . |
|
Φ = Φo . |
|
Согласно (2.31) и (2.32) при однотональной модуляции и фаза, и частота из- меняются по гармоническому закону и, хотя на вид (рис.2.7) они вроде бы и одинаковы, спектры у них различны. Различие проявляется и в том, что при из- менении частоты модуляции Ω их параметры β и Δω изменяются по-разному.
Рис.2.7. Гармоническая УМ: слева – ФМ , справа - ЧМ
25
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Для расчета спектра сигнала гармонической УМ рассмотрим его функцию модуляции CМ(t). Согласно (2.31)
|
CM ( t ) = Uo e j β Sin α( t ) , |
(2.37) |
где |
α( t ) = Ω t + Φ . |
(2.38) |
В математике известна формула |
|
|
|
∞ |
|
|
e jβ Sin x = åJn(β )e j nx , |
(2.39) |
|
n=−∞ |
|
где |
J n ( β )– функции Бесселя первого рода n – порядка (рис.2.8). Для положи- |
|
тельных и отрицательных n они связаны соотношением |
|
|
|
J −n (β ) = ( −1)n J n (β ) . |
(2.40) |
Рис.2.8. Первые 8 функций Бесселя J n (β )
Используя (2.6) и (2.37) – (2.39), получим спектральное разложение функции
Z(t) :
|
|
∞ |
|
|
Z( t ) = |
åCn e j( ωnt+ ϕn ), |
(2.41) |
|
|
n=−∞ |
|
где |
Cn = UoJn(β ), |
ωn = ωo + Ω n , ϕn = ϕo + Φ n . |
(2.42) |
Отсюда разложение сигнала S(t) будет
26
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
|
∞ |
∞ |
|
S( t ) = Re Z( t ) = å Cn Cos( ωnt + ϕn )= Uo åJn(β ) Cos( ωnt + ϕn ) , |
(2.43) |
||
|
n=−∞ |
n=−∞ |
|
которое может быть записано как |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
S( t ) = å An Cos ωnt +BnSin ωnt , |
(2.44) |
|
|
n=−∞ |
|
|
где |
An = UoJn (β )Cosϕn, |
Bn = −UoJn (β ) Sinϕn . |
(2.45) |
Спектры в формах (2.43) и (2.44) показаны на рис.2.9. Характерным для них в
общем случае является отсутствие симметрии относительно несущей частоты
ωо .
а |
б |
Рис.9. Спектры гармонической УМ: а - в форме (2.43), |
б – в форме (2.44) |
Теоретически спектр УМ содержит бесконечное число гармоник n , однако из- за того, что с ростом n функции Jn(β ) убывают, фактически число гармоник
ограничено эмпирически определяемыми значениями
n = 1 + β + |
|
. |
(2.46) |
β |
При малом индексе (β < 1) можно считать, что спектр УМ подобно спектру АМ содержит только по одной боковой составляющей (рис.10,а), и его ширина равна 2Ω . В этом случае
|
|
J o ( β ) ≈ 1, J1(β ) ≈ β / 2 , |
J −1(β ) ≈ −β / 2 . |
При |
β >> 1 |
можно принять, что n ≈ β , |
и поэтому ширина спектра будет |
2nΩ |
≈ 2βΩ |
= 2 Δω , т.е. примерно равна удвоенной девиации частоты |
|
(рис.2.10,б). |
|
|
|
|
|
|
27 |
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Рис.2.10. Спектры сигналов с ЧМ: а - при малом и б – при большом индек-
сах модуляции
В заключение, используя вышеприведенные результаты, сопоставим спек- тры колебаний с ФМ и ЧМ при начальных фазах ϕо = 0 и Φо = 0 .
Фазовая модуляция |
½ |
Частотная модуляция |
|
ϑ(t) = β Sin (Ωt + Φ) , |
|||
Φ = p/2, |
|
|
Φ = 0 , |
|
|
||
ϑ( t ) = β Cos Ω t - функция четная. |
|
|
ϑ( t ) = β Sin Ω t - функция нечетная. |
В табл.1 это соответствует |
|||
варианту (1.2) . |
½ |
варианту (1.3) . |
|
Распределение составляющих спектра относительно wо:
An ,Bn , |
|
|
|
|
Cn |
|
,ϕn – четные, |
½ |
|
|
|
An , ϕn – несимметричные, |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причем, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
An = 0 |
|
для нечетных n, |
|
|
|
|
|
|
|
|
Bn = 0 - для всех n , |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Bn = 0 |
для четных n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕn = 0, ± π - для всех n . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Cn |
|
= |
|
|
A n |
|
- для четных n, |
|
|
|
|
|
|
A n= Uo Jn( β ) , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Cn |
|
|
|
= |
|
B n |
|
|
|
- для нечетных n . |
|
|
|
Cn |
|
= |
|
A n |
|
- четные для всех n . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для примера спектры сигналов с ФМ и ЧМ показаны на рис.2.11.
28
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com