Раздел 4. Модуляция колебаний
4.1 . Амплитудная модуляция
Модуляция есть процесс изменения одного или нескольких параметров высокочастотного модулируемого колебания под воздействием относительно низкочастотного управляющего модулирующего сигнала. В результате спектр управляющего сигнала переносится в область высоких частот, где передача электромагнитных сигналов посредством излучения более эффективна. Пере- даваемая информация заложена в управляющем сигнале. Роль переносчика информации выполняет высокочастотное колебание, называемое несущим. В
качестве несущего могут быть использованы колебания различной формы (прямоугольные, треугольные и т.д.), однако чаще всего применяются гармони- ческие колебания. В зависимости от того, какой из параметров несущего коле- бания изменяется, различают вид модуляции (амплитудная, частотная, фазовая и др.).
Сигнал с амплитудной модуляцией (АМ) и гармоническим несущим коле-
банием записывается в виде
S(t) = A(t)cos(ωot +θo ), |
(4.1) |
где A(t) изменяемая амплитуда, ωo – несущая частота и |
θo – начальная фаза, |
значение которой для АМ сигнала не принципиально. В дальнейшем для про- стоты мы будем полагать θo = 0. При АМ сигнал A(t) перемножается с не-
сущим колебанием cosωot , благодаря чему и происходит перенос спектра сигнала A(t) в область несущей частоты.
Покажем это. Пусть A( jω) = A(ω)e jϕ(ω) есть комплексный спектр действительной функции A(t). Его модуль – функция четная, а фаза – функция нечетная:
A(ω) = A(−ω); ϕ(ω) = −ϕ(−ω). |
(4.2) |
Выразим A(t) через интеграл Фурье. Учитывая (4.2),
50
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
|
1 |
∞ |
|
|
|
|
|
∞ |
|
||
A(t) = |
ò A( jω)e jωt dω = ò A(ω)e j(ωt +ϕ(ω ))dω = |
|
|||||||||
2π |
|
||||||||||
|
−∞ |
|
1 ∞ |
−∞ |
(4.3) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= |
|
|
|
ò A(ω)cos(ω t +ϕ(ω))dω . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2π −∞ |
|
|
|||
Последняя запись представляет тригонометрическую форму интеграла Фурье |
|||||||||||
для действительной |
функции |
A(t). Используя (4.3), представим сигнал S(t) в |
|||||||||
аналогичной форме |
|
|
|
|
|
∞ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
S(t) = A(t) cosωo t = |
|
|
ò A(ω) cos(ω t +ϕ(ω)) cosωot dω . |
|
|||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
После простых преобразований с учетом (4.2) получаем |
|
||||||||||
|
|
1 ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||
S(t) = |
|
|
ò A(ω −ωo )cos(ω t +ϕ(ω −ωo ))dω . |
(4.4) |
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
2π −∞ |
|
|
|
|
|||||
Сравнивая (4.4) и (4.3) видим, что спектр сигнала S(t) получается переносом спектра сигнала A(t) на частоту ωo . Рис.4.1 иллюстрирует сказанное.
a) |
б) |
Рис.4.1. |
Сигналы A(t), S(t) и их спектры |
51
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Часть спектра сигнала S(t), расположенная справа от несущей частоты ωo , называется верхней боковой полосой, а часть, расположенная слева от ωo , - нижней боковой полосой. Общая полоса частот, занимаемая АМ сигналом, равна 2ωmax , где ωmax – высшая частота в спектре модулирующего сигнала.
Простейшим видом АМ сигнала является тонально-модулированное колеба- ние (рис.4. 2), амплитуда которого изменяется по закону
A(t) = Ao + AM cos (Ωt +ϕ) = Ao (1+ mcos(Ωt +ϕ)) = |
|
||||
= A (1+ |
m |
cos(Ωt +ϕ) + |
m |
cos(−Ωt −ϕ)) . |
(4.5) |
|
|
|
|||
o |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
а) |
|
б) |
|
||
|
Рис.4.2. |
Тонально модулированное колебание |
|
|||
Параметр |
m = |
AM |
называется коэффициентом или глубиной модуляции. |
|||
A |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
A(t) |
o |
|
от Amin = Ao − AM = Ao (1− m) |
|
|
Амплитуда |
изменяется |
до |
||||
Amax = Ao + AM = Ao (1+ m). |
Коэффициент m можно выразить |
через |
||||
Amin и Amax : 52
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
m = |
Amax |
− Amin |
. |
(4.6) |
A |
|
|||
|
+ A |
|
||
|
max |
min |
|
|
АМ колебание имеет вид:
S(t) = A(t)cosωot = Ao (1+ mcos(Ωt +ϕ))cosωot =
= A cosω |
o |
t + |
m |
A cos((ω |
o |
+ Ω)t +ϕ) + |
m |
A cos((ω |
o |
− Ω)t −ϕ) (4.7) |
|
|
|
||||||||||
o |
|
2 o |
|
|
2 o |
|
|||||
Согласно (4.5) и (7) спектры сигналов |
A(t) и S(t) содержат по три состав- |
||||||||||
ляющих с частотами –Ω, 0, Ω и ωo − Ω , |
ωo , ωo + Ω . |
|
|
||||||||
Устройства, предназначенные для получения модулированных колебаний, |
|||||||||||
называются |
модуляторами. Так как АМ сигнал согласно (4.1) является произ- |
||||||||||
ведением двух сигналов, то амплитудный модулятор по сути должен быть их пе- ремножителем. Операцию перемножения можно осуществить в нелинейных и параметрических цепях. На практике более широко используются преобразовате- ли на основе нелинейных цепей, выражение для ВАХ которых должнщ содержать квадратичный член, т.к. именно он отвечает за перемножение сигналов. В самом деле, если на нелинейный элемент с характеристикой
i = ao + a1u + a2u2
подать сумму двух колебаний
u(t) = Uo cosωot +UM cosΩt ,
то получим ток
i= ao + a1(Uo cosωot +UM cosΩt) +
+a2 (Uo2 cos2 ωot + 2UoUM cosωot cosΩt +UM2 cos2 Ωt) = = ao + 12 a2 (Uo2 +UM2 ) + a1UM cosΩt + 12 a2UM2 cos2Ωt +
+ (a U |
+ 2a U U |
cosΩt)cosω |
t + |
1 |
a U 2 cos2ω |
t , |
|
|
|||||||
1 o |
2 o M |
o |
|
2 2 o |
o |
|
|
среди составляющих которого содержатся члены, соответствующие АМ колеба-
нию
iАМ (t) = (a1Uo + 2a2UoUM cosΩt)cosωot = = Io (1+ M cosΩt)cosωot ,
53
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
где |
I |
o |
= a U |
o |
и |
M = 2 |
a2 |
U |
M . |
(4.8) |
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
a1 |
|
|
|||
|
Наряду с полезной составляющей iАМ (t) |
ток содержит и |
«ненужные» |
|||||||
компоненты с частотами |
0,2Ω и 2ωo , которые должны быть удалены (от- |
фильтрованы). |
Из сказанного следует, что АМ модулятор должен |
|
|
|
содержать источники модулирующего и несущего |
|
колебаний, нелинейных элемент с квадратичной ха- |
|
рактеристикой и фильтр, выделяющий полезные час- |
|
тоты (рис.4.3). В качестве фильтра обычно исполь- |
|
зуют колебательный контур, настроенный на несу- |
|
щую частоту с полосой пропускания, достаточной |
|
для выделения верхней и нижней боковых полос |
Рис.4. 3 |
спектра АМ сигнала. |
Реальные ВАХ нелинейных элементов описываются полиномами, степени которых обычно выше второй, и потому спектры их тока содержат большое чис-
ло комбинационных частот
ωmn = mω 0+ nΩ, |
m,n = 0,±1,± 2,± 3,... |
среди которых могут быть и «ненужные». |
Если окажется, что некоторые из них |
попадут в полосу пропускания фильтра, то это приведет к нелинейным искажени- ям формы огибающей A(t), которая уже не будет воспроизводить информацион-
ный сигнал. Для предотвращения возникновения нежелательных частот приме- няют более сложные балансные и мостовые схемы модуляторов с двумя и че- тырьмя нелинейными элементами (обычно диодами). Простые схемы модулято- ров строятся на одном нелинейном элементе (транзисторе или электронной лам- пе). Управляющий сигнал вводят в цепь базы или коллектора транзистора, сетки или анода лампы. Соответственно модуляцию называют базовой, коллекторной,
сеточной или анодной. |
|
|
|
Рассмотрим схему базовой модуляции на транзисторе (рис.4. |
4). |
||
|
На базу поданы напряжение смещения |
||
|
Eсм , определяющее положение рабочей |
||
|
точки на ВАХ транзистора, высокочастот- |
||
|
ное |
напряжение |
несущей |
|
U0 (t) = Uo cosω0t и |
низкочастотное |
|
|
напряжение |
сигнала |
модуляции |
|
UM (t) = UM cosΩ t . В цепь коллек- |
||
|
тора включен колебательный контур LCR, |
||
Рис.4.4. Базовый модулятор |
настроенный на несущую частоту. |
||
54
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Выходное напряжение V (t) снимается через разделительный конденсатор
Cразд.
Комплексное сопротивление контура (резонансная характеристика рис.4.5а)
равно
Z ( jω) = |
|
|
R |
= Z (ω) e j Ψ(ω ) , |
|
1 |
+ jζ Q |
||||
|
|
||||
|
где |
- эквива- |
a) |
лентное активное сопротивление (АЧХ), |
|
|
– добротность контура, |
|
|
|
- относи- |
б) |
тельная расстройка, |
|
|
- |
фазовая характе- |
|
ристика (ФЧХ), |
|
|
На несущей частоте ω0 сопротивление |
|
в) |
и фаза |
. |
Рис.4.5. а) АЧХ и ФЧХ контура, б) спектр тока iAM (t) ,
в) спектр выходного сигнала V(t).
На боковых частотах
Работа схемы иллюстрируется рис.4.6.
55
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Рис.4. 6. Работа модулятора на квадратичном участке ВАХ.
.
Начальный участок ВАХ близок к квадратичному. Рабочая точка выбирается
на его середине. |
Как было показано выше, в спектре тока коллектора будут со- |
||
держаться колебания с частотами |
и |
, образующие АМ составляю- |
|
щую тока |
|
|
|
|
|
|
(4.9) |
Здесь |
- глубина модуляции тока. |
|
|
Расчет спектральным методом показывает, что выходное напряжение на ко-
лебательном контуре, создаваемое током |
, будет равно |
(4.10)
где |
и |
. |
(4.11) |
Спектр этого колебания показан на рис.4.5, в и рис.4.6. |
|
||
Как видно из (4.11), глубина модуляции |
напряжения |
оказывается в |
|
раз меньше, чем у тока |
, и кроме того огибающая напряжения |
||
сдвинута по фазе на |
относительно огибающей тока. Уменьшение глу- |
||
56 |
|
|
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com