В. Предел функции, непрерывные функции.

1. Определение предела функции по Коши и по Гейне. Односторонние пределы.

Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности   такой, что   сходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функции   сходится к числу A.

Если функция f (x) имеет предел в точке a, то этот предел единственный.

Число A₁ называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех   выполняется неравенство   

Число A₂ называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех   выполняется неравенство   

Предел слева обозначается   предел справа –   Эти пределы характеризуют поведение функции слева и справа от точки a. Их часто называют односторонними пределами. 

2. Свойства предела функции.

1. Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2. Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

А

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

Расширенное свойство предела суммы

Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

3. Предел произведения функции на постоянную величину. Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:

4. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

Расширенное свойство предела произведения Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

5. Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

3. Критерий Коши существования предела.

4. Монотонные функции и их пределы.

5. Сравнение бесконечно малых функций.

6. Непрерывность функции в точке (различные определения и их эквивалентность). Непрерывность функции на множестве, примеры.

точке окрестности

7. Арифметические операции над непрерывными функциями.

  Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны в точке х₀. Тогда функции f (x) ± g (x), f (x)·g (x) и f (x) : g (x) также непрерывны в этой точке (в последнем случае предполагается g (х₀) ≠ 0).

8. Локальные свойства непрерывной функции (ограниченность, отделимость от нуля).

9. Глобальные свойства непрерывной функции. 1-ая теорема Больцано - Коши (о нуле функции).

10. 2-ая теорема Больцано - Коши (о промежуточном значении).

11. 1-ая теорема Вейерштрасса (об ограниченности функции).

12. 2-ая теорема Вейерштрасса (о достижении экстремумов).

13. Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора.

14. Точки разрыва и их классификация.

15. Точки разрыва монотонной функции.

16. Обратная функция и ее свойства.

17. Непрерывность сложной функции.