- •Теорема 1 (свойства счетных множеств).
- •4. Несчетные множества.
- •7. Иррациональность числа корень квадратный из 2.
- •8. Десятичные дроби, рациональные и иррациональные числа, свойство полноты действительных чисел.
- •Доказательство:
- •Предел подпоследовательности. Частичные пределы. Лемма Больцано-Вейерштрасса.
- •Свойства
- •Принцип математической индукции.
- •Второй замечательный предел
- •В. Предел функции, непрерывные функции.
- •Расширенное свойство предела суммы
Свойства
-Ограниченность.
-Всякая неубывающая последовательность ограничена снизу.
-Всякая невозрастающая последовательность ограничена сверху.
-Всякая монотонная последовательность ограничена по крайней мере с одной стороны.
-Монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена с обеих сторон.
-Сходящаяся неубывающая последовательность ограничена сверху своим пределом.
-Сходящаяся невозрастающая последовательность ограничена снизу своим пределом.
Принцип математической индукции.
в математике — один из методов доказательства. Используется, чтобы доказать истинность некоего утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база индукции, а затем доказывается, что, если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.
Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино. Пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку. Тогда, если мы толкнём первую косточку, то все косточки в ряду упадут.
Формулировка : Предположим, что требуется установить справедливость бесконечной последовательности утверждений, занумерованных натуральными числами: .
Пусть имеется семейство утверждений . Пусть известно, что:
1.(база индукции) справедливо;
2.(индукционный переход) из справедливости вытекает справедливость .
Тогда все утверждения справедливы.
Число е.
Второй замечательный предел
Рассмотрим числовую последовательность , где , С ростом основание степени уменьшается до единицы, а показатель растет до бесконечности, поэтому ничего конкретного о поведении сказать нельзя. Для вычисления воспользуемся выражением для бинома Ньютона:
. (0.0.1)
В нашем случае
.
Из полученного выражения следует, что с увеличением величина растет. Действительно, перейдем от к . Это приведет к тому, что число слагаемых возрастет на одно. Кроме того, величина множителей, заключенных в скобки, тоже возрастет, так как . Но если увеличивается число слагаемых и сами слагаемые растут, то . Значит, числовая последовательность монотонно возрастает.
Докажем теперь, что данная последовательность ограничена сверху. Заменим все скобки вида единицей. Так как , то
.
Кроме того , ,..., . Значит,
.
В правой части неравенства после цифры 2 стоит убывающая геометрическая прогрессия. Как известно, сумма первых членов такой прогрессии равна: . В нашем случае . С ростом величина будет, очевидно, стремится к единице. Значит, , то есть, ограничено сверху.
Итак, мы получили, что . Но так как монотонно возрастающая последовательность ограниченная сверху, то она имеет предел:
Можно доказать, что данный предел справедлив не только для натуральных чисел, но и для любых значений :
.
Полученное выражение и называется вторым замечательным пределом.
Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, т.е. докажем, что . Рассмотрим два случая:
1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где n = [x] - это целая часть x.
Отсюда следует: , поэтому
.
Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:
.
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .
2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда
.
Из двух этих случаев вытекает, что для любого x.