7. Иррациональность числа корень квадратный из 2.

Применим доказательство от противного: допустим,   рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби  , где   и   — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

.

Отсюда следует, что   чётно, значит, чётно и  . Пусть  , где   целое. Тогда

Следовательно,   чётно, значит, чётно и  . Мы получили, что   и   чётны, что противоречит несократимости дроби  . Значит, исходное предположение было неверным, и   — иррациональное число. Применим доказательство от противного: допустим,   рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби  , где   и   — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

.

Отсюда следует, что   чётно, значит, чётно и  . Пусть  , где   целое. Тогда

Следовательно,   чётно, значит, чётно и  . Мы получили, что   и   чётны, что противоречит несократимости дроби  . Значит, исходное предположение было неверным, и   — иррациональное число.

8. Десятичные дроби, рациональные и иррациональные числа, свойство полноты действительных чисел.

Десятичная дробь есть результат деления единицы на десять, сто, тысячу и т.д. частей. Эти дроби очень удобны для вычислений, так как они основаны на той же позиционной системе, на которой построены счёт и запись целых чисел. Благодаря этому запись и правила действий с десятичными дробями фактически те же, что и для целых чисел. При записи десятичных дробей нет необходимости отмечать знаменатель, это определяется местом, которое занимает соответствующая цифра. Сначала пишется целая часть числа, затем справа ставится десятичная точка. Первая цифра после десятичной точки означает число десятых, вторая – число сотых, третья – число тысячных и т.д. Цифры, расположенные после десятичной точки, называются десятичными знаками.

Свойства десятичных дробей.

 

    1.   Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули:

 

 

    2.   Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные

          в конце десятичной дроби:

Периодическая десятичная дробь содержит бесконечно повторяющуюся группу цифр, называемую периодом. Период записывается в скобках. 

Свойство полноты. Для любых действительных чисел a и b (∀a∈A ∧ ∀b∈B) справедливо одно из трёх: a = b (b = a), a > b (b < a), a < b (b > a)

9. Ограниченные множества; точные границы и их свойства.

Говорят, что множество X ⊂ R ограничено сверху, если существует число c ∈ R такое, что x c для любого x ∈ X. Число c при этом называется верхней границей множества X. Аналогично определяются ограниченность множества снизу и нижняя граница множества X. Множество, ограниченное и сверху, и снизу, называется

ограниченным.

Рассмотрим произвольное множество   действительных чисел. Если   состоит из конечного числа элементов, то в   имеется наименьшее число   и наибольшее число  . Однако для бесконечных множеств наибольшие и наименьшие элементы не всегда существуют. Рассмотрим примеры:

;

Множество   не имеет наименьшего и наибольшего элементов. Интервал   тоже не имеет наименьшего и наибольшего элементов (хотя это множество ограничено), так как каково бы ни было число  , всегда найдутся   такие, что  . Множество   не имеет наибольшего элемента, но имеет наименьший элемент  . Очевидно,  , в   нет наименьшего элемента.

Однако для бесконечных множеств, в которых нет наибольшего элемента, может существовать верхняя граница, которую нельзя уменьшить.

Множество   называется ограниченным сверху, если существует число   такое, что для всех  . Число   называется верхней границей (мажорантой) множества  .

Точной верхней границей множества   называется число   такое, что

1)   (т.е.   -- одна из верхних границ множества  );

2)   (т.е. границу   множества   нельзя уменьшить).

Точная верхняя граница множества   обозначается  . Аналогично определяется точная нижняя граница множества, которую обозначают  :

1)   (т.е.   -- одна из нижних границ множества  );

2)   (т.е. границу   множества   нельзя увеличить). 

Определение Точная верхняя граница множества   это его наименьшая верхняя граница. Точная верхняя граница обозначается 

Определение Точная нижняя граница множества   это его наибольшая нижняя граница Точная нижняя граница обозначается 

10. Теорема существования точной верхней (нижней) границы для ограниченного сверху (снизу) множества.

Если множество   ограничено сверху (снизу) то существует его точная верхняя (нижняя) граница