Доказательство:

Рассуждения будут проводится в отношении верхней границы. Разобьем на два случая

1) Среди чисел   множества   существует наибольшее 

Тогда для любого числа   из множества  ,  , значит   является верхней границей множества  . С другой стороны для любой верхней границы   должно выполнятся  , а значит   является наименьшей из границ, т.е. точной верхней границей

2) Среди чисел   множества   не существует наибольшего

Произведем сечение в области вещественных чисел К верхнему классу   отнесем все верхние границы множества  , к нижнему классу   отнесем все остальные вещественные числа. Легко видеть что такое разбиение действительно является сечением  Т.к. все вещественные числа распределены и любое число в   больше любого числа в  . При этом все числа из множества   попадут в  , т.к. в множестве   нет наибольшего числа.(Если бы   попал в  , то он значит был бы верхней границей, а значит был бы наибольшим, что противоречит допущению) По основной теореме Дедекинда должно существовать вещественное число  производящее сечение. Очевидно что   является верхней границей множества  , также очевидно, что   является точной верхней границей.

Основная теорема (Дедекинда) Для всякого сечения   в области вещественных чисел существует вещественное число   которое производит это сечение. Это число   будет либо наибольшим в нижнем классе  , либо наименьшим в верхнем классе 

Б. Последовательность и ее предел.

1. Последовательность, предел последовательности.

2. Свойства сходящейся последовательности.

Еще 1 св-во

3. Принцип Коши-Кантора для системы вложенных отрезков.

=

4. Принцип Гейне-Бореля для покрытия отрезка.

Пусть отрезок покрыт бесконечной системой Σ интервалов. Предположим, что никакое конечное число интервалов из Σ не покрывает данный отрезок. Разделим отрезок пополам на два равных отрезка:   и  . По крайней мере один из них нельзя покрыть конечной подсистемой интервалов из Σ. Обозначим его и повторим для него процедуру деления пополам.

Продолжая на каждом шаге делить отрезки пополам, мы получим последовательность вложенных отрезков, по длине стремящихся к нулю, такую что каждый отрезок этой последовательности не может быть покрыт конечным числом интервалов из Σ. Но если ξ — точка в которую стягиваются отрезки, то, поскольку ξ лежит на отрезке , она должна входить в некоторый интервал σ системы Σ. Тогда все отрезки последовательности , начиная с некоторого номера, будут покрыты интервалом σ. Полученное противоречие доказывает справедливость леммы Гейне — Бореля.

5. Предел подпоследовательности. Частичные пределы. Лемма Больцано-Вейерштрасса.

Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. Очевидно, что только предельная точка множества элементов последовательности может быть её частичным пределом.

Нижним пределом последовательности (обозначается   или  ) называется наименьший элемент множества частичных пределов последовательности, а верхним пределом (  или  ) — наибольший элемент.

Не во всяком множестве существуют наибольший или наименьший элемент; примером может служить интервал  . Однако утверждается, что у ограниченной последовательности верхний и нижний пределы существуют.

Докажем это утверждение для верхнего предела. По теореме Больцано — Вейерштрасса множество частичных пределов ограниченной последовательности непусто. Пусть   — верхняя грань множества  частичных пределов. Тогда заметим, что  , а это означает, что в любой окрестности точки   находится бесконечно много членов последовательности. Поскольку утверждение верно для любого  , мы можем сказать, что в любой окрестности точки   содержится бесконечно много членов последовательности (так как в любой окрестности мы можем найти точку  ). Значит,   по определению является предельной точкой последовательности, а стало быть, и её частичным пределом, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается случай нижнего предела.

Последовательность   сходится к   тогда и только тогда, когда  , так как получается, что   — единственная предельная точка множества элементов последовательности

     

6. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.

7. Монотонные последовательности и их свойства.

Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.

Последовательность   элементов множества   называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.

 — неубывающая 

Последовательность   элементов множества   называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.

 — невозрастающая 

Последовательность   элементов множества   называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.

 — возрастающая 

Последовательность   элементов множества   называется убывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.

 — убывающая 

Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей.

Последовательность называется строго монотонной, если она является возрастающей, либо убывающей.

Очевидно, что строго монотонная последовательность является монотонной.