1. Частные производные функции многих переменных.

Частными производными второго порядка F=Z=F(x,y) называются частные производные от её производных первого порядка.

Частные производные 2 порядка и выше, взятое по различным переменным называется смешанной частной производной.

Если частное производное высшего порядка непрерывны то смешенных производных одного порядка не зависят от порядка дифференциала.

2. Частные производные высшего порядка и полный дифференциал функции многих переменных.

3. Понятие первообразной, понятие неопределённого интеграла. Свойства неопределённого интеграла.

Первообразной - называется дифференциал для функции F(x) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка справедливо равенство F’(x)=F(x).

Множество первообразных, для функции f(x) или для дифференциала f(x)dx называется неопределённым интегралом и обозначается f(x)dx=f(x)+c где f(x)dx подынтегральное выражение, f(x) подынтегральная функция, x- переменная интегрирования.

Свойства неопределённого интеграла

1. Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен этой функции + произвольное постоянное с: d F(x)=F(x)+c.

2. Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению d F(x)dx=f(x)dx (f(x)dx)’=f(x).

3. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функции равен алгебраической сумме интеграла от этих функций.

4. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно вынести за знак интеграла

R f(x)dx=R f(x)dx

4. Таблица неопределённых интегралов. Нахождение интегралов с помощью свойств и таблиц.

5. Методы интегрирования: замена переменно, внесение функции под знак дифференциала.

Интегрирование заменой переменной (подстановка):

1.Определить к какому табличному интегралу можно привести данный.

2.Определить какую часть подынтегрального выражения нужно заменить новой переменной (заменяют ту часть, дифференциал которой равен оставшейся или отличается от неё на произвольную постоянную.

3.Записать замену.

4.Найти дифференциал от левой и правой части замены.

5.Произвести замену под интегрального

6.Найти первообразную полученного интеграла.

7.В ответе произвести замену новой переменной.

Интегрирование методом внесения функции под знак дифференциала:

6. Интегрирование по частям в неопределённом интеграле.

Существует 3 группы интегралов берущейся по частям:

1. Интегралы содержащие в подынтегральном выражении одну из функций (ln(x),arcsinx, arccosx, arctgx, arcsin²x). За u принимается переменная функции.

2. Ко второй группе относится интеграл содержащий многочлен и функции sin(ax+b), cos(ax+b), e^ax. За u принимается многочлен переменной степени n.