23.Ряд Фурье. Разложение четных и нечётных функций в ряд Фурье.

Если в промежутке –П<x<П функция F(x) является нечётной, то есть F(-x)=-F(x) , то a₀=0, a_n=0

Следовательно, нечётная функция разлагается в ряд Фурье по синусу f(x) b₁sinx+b₂sin2xdx (2)

Если F(x) задана на промежутке [0; П] то её нужно доопределить на промежутке [–П; 0] (достроить график функции симметрично начала координат). Если в промежутке –П<x< П функция F(x) является четной то есть F(-x)=F(x) то её коэффициенты Фурье вычисляется по формуле:

График чётной функции стремится относительно оси Оy.

24.Основные понятия теории функций комплексной переменной: комплексная плоскость, бесконечноудалённая точка, окрестность точки, числовая последовательность, предел функций и непрерывность. Основные однозначные и многозначные элементарные функции.

25.Дифференцирование функций комплексной переменной: правило дифференцирования, формулы вычисления производной, понятие аналитической функции. Интегрирование функций комплексной переменной.

Пусть однозначная функция w=f(z) определена в некоторой окресности в точке z₀ и пусть существует: этот предел называется производной функции f’(z₀)

Правило дифференцирования.

Пусть все использованные в равенстве функции дифференцируемы в точке z, тогда:

1. Если c=const, то c’=0

2. (cf₁(z))’=c(f₁(z))’

3. (f₁(z) + f₂(z))’= f₁(z) + f₂(z)

4. (f₁(z)f₂(z))= F₁’(z) F₂(z) + f₁(nz)f₂(z)

5. F₁(z) F₁’(z) F₂(z) + f₁(z)f₂(z)

F₂(z) (f₂(z))²

F’’(z)=(f’(z))’

Пусть данная функция f(z)= u(xy)+iv(xy) и пусть она дифференцируема в точке z=i+xy,тогда выполняется следующее соотношение:

Данные равенства называются условием Даламбера-Эйлера (Коши-Римака).

Если все точки производной функции u и y непрерывны в точке xy и удовлетворяет условие (1), то функция f(z)= u(x1y)+iv(xy) является дифференцированием в точке z=i+xy

Если f(z) дифференцируется в точке z(0) то для вычисления производной в точке то справедливы формулы:

Геометрический смысл модуля производной

Производная (f’(z₀) равняется в точки z₀ можно рассматривать как коэффициент растяжения в точке z₀ при отображении w=F(z).

Функция W=f(z) называется аналитической в области d если она однозначна и дифференцируем в каждой точке этой области.

Интегрирование функций комплексной переменной.

Интеграл от функции f(z) по кривой г называется конечным пределом интегральной суммы при дельто стремящегося к 0, которое не зависит от спосоаба разбиения кривой г на части дуги, не от выбора z

Свойства:

1. Интеграл не зависит от обозначенной переменной интегрирования.

2. При изменении направления движения по кривой интеграл меняет знак на противоположный:

3. Свойства линейного интеграла:

4. Свойство аддитивности:

26.Числовые ряды с комплексными членами. Ряд Тейлора.

Пусть Zn последовательность комплексных чисел вида: Z_n=x_n+iy_n n принадлежит N сумма вида

называется числовым рядом комплексных чисел z_n -элементы ряда.

Сумма n₁ элементов ряда (1) называется n-ой частичной суммой ряда:

Ряд называется сходящимся если существует предел n частичной суммы сходящегося к , который равен сумме ряда .Ряд расходится если предел не существует.

Числовой ряд комплексных чисел состоит из действительной части ряда и мнимой части ряда.

комплексными элементами сходится тогда и только тогда когда его действительная и мнимая части:

Необходимый признак сходимости рядов

Если ряд с комплексными элементами сходится, т о предел z_n при n стремящемся к бесконечности равен 0.

Необходимый признак является достаточным для доказательства расходимости ряда. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся если сходится ряд который является рядом с действительными неотрицательными элементами. ( ряд составлен из модулей).

Рядом Тейлора называется ряд вида:

Алгоритм разложения функции ряда Тейлора

1. Найти значение функции и её последовательных производных в точке 0:F(0), F’(0), F’’( 0).

2. Подставить найденные значения в формулу 1 составить ряд Тейлора.

3. Найти промежуток сходимости по полученного ряда по формуле: