12. Метод интегрирования заменой переменных и внесением функции под знак дифференциала при вычислении определённых интегралов. Метод интегрирования по частям в определённом интеграле.

Непосредственное интегрирование: интегрирование с использованием табличных интегралов, основных свойств интегралов и тождественного преобразований.

Замена переменной в определённом интеграле.

Алгоритм методом замены:

1. Определить к какому табличному интегралу можно привести данный.

2. Определить какую часть подынтегрального выражения можно заменить новой переменной( заменяем ту часть, дифференциал которой равняется оставшейся или отличается на произвольную постоянную с.)

3. Записать замену, и продифференцировать обе части равенства.

4. Произвести замену под знаком интеграла.

5. Вычислить новые пределы интегрирования.

Интегрирование по частям в определённом интеграле.

Если функция u и v и их производные u’и v’ непрерывны на промежутке ab, то формула интегрирования по частям в определённом интеграле имеет вид:

Большая часть интеграла берётся по частям может быть разбита на 3 группы:

1. Интегралы подынтегральная функция которой содержит в качестве множителя одну из следующих функций(lnx,arcsinx,arccosx,arctgx,arcctgx,arcsin²x)

Для вычисления этих интегралов следует за u принять указанные функции.

Ко второй группе относятся интегралы вида:

Они как путём n-кратного применяют формулы интегрирования по частям. Причём за u следует брать (ax+b)ⁿ.

К третьей группе относятся интегралы вида:

Обозначая любой из этих интегралов через 1 и производя двукратный интеграл по частям получим уравнение 1-го порядка.

13. Геометрический и физические приложения определённого интеграла несобственные интегралы первого рода: понятие, вычисление, условие сходимости.

Вычислить S плоских фигур.

С помощью определённого интеграла вычислить S плоскости фигуры так как эта задача всегда сводится к вычислению площадей криволинейной трапеции.

Площадь всякой плоской фигуры прямоугольной системы координат может быть составлена из площадей криволинейных трапеций к оси O_x или к оси O_y , задачи на вычисление S плоских фигур удобно решать по следующему алгоритму.

1. По условию задачи сделать схематический чертёж.

2. Представить искомую площадь, S криволинейной трапеции.

3. Из условия и задачи чертежа определить пределы интегрирования для каждой криволинейной трапеции.

4. Записать каждую функцию в виде y=f(x).

Вычислить площадь каждой криволинейной трапеции и площадь искомой фигуры.

Дуга

Длина дуги плоской криволинейной y=f(x) на отрезке ab находится по формуле:

Несобственное интегрирование

Для существования определённого интеграла необходимо чтобы промежуток интегрирования был конечен, а подынтегральная функция ограничена в противном случаи множество интегральных сумм не будет ограничена. Возможны случай когда одна или оба условия не выполняются, то есть когда промежуток интегрирования бесконечен или подынтегральная функция не ограничена , такие интегралы называются несобственными.

Различают несобственные интегралы 1-го. 2-го рода. В зависимости от того имеем ли мы дело с бесконечным промежутком интегрирования или с неограниченным подынтегральной функцией.

Пусть функция y=f(x) интегрируема на каждой конечной части луча, то есть для любого c>a существует конечный интеграл за значение несобственного интеграла 1-го рода принимают предел функции, когда (то есть когда промежуток интегрирования заполнить весь луч).

Если это предел существует и конечен то несобственный интеграл называется сходится.

Если не существует то несобственный интеграл расходится.

Пример сходимости несобственного интеграла с бесконечно верхним пределом.

Теорема: Для того чтобы несобственный интеграл от положительной функции F(x) сходимости несобственного достаточно. Что бы был ограничен сверху

14.Линейное пространство: определение и примеры. Евклидово пространство: определение примеры. Понятие функции, функционала, оператора. Линейные операторы. Матрица линейного оператора в заданных базисах.

Линейное пространство: определение и примеры.

Разложение векторов в линейном пространстве.

Пусть F множество действительных чисел R, C множество всех комплексных чисел.

Множество V элементов x, y, z….. называются линейным вектором пространства над числовым множеством F, если для каждых из 2 элементов x и y определена их сумма x+y с V. и для каждого числа , определено произведение , причём выполняется 8 аксиом.

1. Камуникативность x+y=y+x

2. Ассоциативность для x+(y+z)=(x+y)+z

3. Существует такой элемент -нулевой, что x+0=x

4. Для любого элемента существует такой противоположный элемент

5. 1*x=x

6. Для любых

Элементы линейного пространства называются векторными. Если F множество действительных чисел R, то векторы пространства V называются действительными пространством. Если F множество комплексных чисел C, называется комплексным линейным пространстыом.

Векторы X1, X2….Xn линейное пространство V называется линейно зависимым, если существует число не все равные 0, такие, что выполняется условие:

Векторы X1, X2….Xn называются линейное независимыми если равенство 1 выполняется только при условии:

Линейно независимая система векторов называется базисом пространства, если любой вектор этого пространства разлагается по векторам:

Линейное пространство называется конечномерным если его базис состоит из конечного количества векторов и бесконечномерным в противном случаи.

Количество n векторов в базисе, конечномерного пространства называется размерностью пространства и записывают: V-V, V²=V³

Примеры:

1. Множество образует линейное пространство размерностью n+1.

2. Множество всех прямоугольных действий матрицы. Для прямоугольника размерность mn

а для квадрата n².

3. Множество всех геометрических векторов 3-х мерного пространства .

Евклидово пространство: определение и пример.

Пусть V линейное пространство, каждой паре векторов из V поставим в соответствии действительное число называется скалярным произведением x,y-скалярное .

Аксиомы:

1. Скалярное произведение кумутативно : xy=yx.

2. Скалярное произведение дистрибутивно: x(y+z)=xy+xz.

3. Числовой множитель можно вынести за знак скалярного произведения:

4. Скалярный квадрат неотрицателен: xx=x²>0

Линейное пространство V со скалярным произведением удовлетворяет аксиомы (1 и 4) называется евклидовым пространством : E. В скалярном произведении определённый угол между векторами x, y, cos которые находятся по формуле.

Два вектора евклидового пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0.

Система векторов называется ортогональной, если каждая пара векторов системы ортогональна.

Вектор, длинна которого равна 1, называется нормированным. Базис e₁,e₂….e_n евклидового пространства Eⁿ которое удовлетворяет условие называется ортонормированным базисам.

Линейным операторы . матрица линейного оператора. V, V –линейное пространство, оператором A действующая V V, называется отображение сопостовляющее каждому x из y:

Оператор A переводит в V называется линейным, если для любых векторов x₁ ,x₂ принадлежит V и любое число справедливо равенство.

Если V=V=R, то оператор A называется функцией(числовой).

Если V=V, то линейный оператор называется линейным преобразованием пространства V.

Пусть в линейном пространстве Rⁿ заданы 2 производные базиса.

Тогда каждый вектор второго базиса можно разложить в первом базисе.

Матрица С транспонируется к матрицы системы называется матрицей перехода от базиса (e_k) (e_k¹),

Если х - вектор заданный в базис, то справедлива формула x=cx’ x’=c^-1x

Тема №24 Дифференциальные уравнения

15.Дифференциальные уравнения первого порядка: понятие, решение. Задачи Коши. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

ДУ называется уравнение содержащее производные искомой функции или её дифференциал.

Решение ДУ- это значит найти такую функцию, подстановка которой в это уравнение обращает его в тождества.

Проверить, является ли функция y=Ce^2x решением ДУ.

Решением ДУ содержащее произвольную постоянную С называется общим решением ДУ.

Решение в которое подставлено числовое значение C, называется частным случаем решения ДУ, значит С вычисляется при подстановки начальных данных в общее решение. При решении ДУ с начало получается общее решение, затем, если известны начальные условия , то можно получить частные решение , для этого нужно:

1. Подставить начальные данные в общее решение и вычислить С.

2. Полученное числовое значение С подставить в общее решение.

Задача нахождения частного решения ДУ по начальным данным называется задачей Коши

Порядком ДУ называется наивысший порядок производной входящей в данное уравнение.

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Уравнение вида:

Заданные функции называются уравнением с разделяющимися переменными . Данные уравнения решаются приведением к ДУ с разделённым переменным.

Алгоритм решения ДУ с разделяющимися переменными

1. Выразить производную функцию через дифференциалы.

2. Члены с одинаковыми дифференциальными перенести в одну сторону равенства и вынести дифференциал за скобку.

3. Разделить переменные.

4. Проинтегрировать обе части равенства и найти общее решение.

5. Если заданы начальные условия, то найти частные решения .