16. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Однородные дифференциальное уравнение. Дифференциальное уравнение Бернулли.

Функция называется однородной функцией первого порядка если при умножении каждого его аргумента на произвольный множитель λ вся функция умножается на .

Пример:

Дифференциальное уравнения y’=F(xy) называется однородным, если функция однородная или F(xy) нулевого порядка.

Дифференциальное уравнение часто задаётся дифференциальной формуле F(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 -

данное уравнение будет однородным если p от xy и Q от xy однородные функции одинарного порядка.

Однородные дифференциальное уравнения преобразуется к уравнениям с разделяющей переменным путем замены :

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным если его можно записать в виде: y’+pxy=qx. Где px,qx заданы функцией или постоянной величиной. Особенность данного диф.уравнения искомая функция и производная. Y’ входит в уравнение 1-ой степени не перемножаясь между собой. Решение дифференциального уравнение в виде y=uv, где u,v-неизвестные функции x, причём одна из них производная, которую подбирают, а другая находится при решении дифференциального уравнения.

В левой части сгруппируем 2 слагаемых так , чтобы можно было вынести за скобки u или v.

В силу выбора одной из функций произвольно приравнивается выражение в скобках к нулю найдём V:

Алгоритм решения ДУ методом Бернулли

1. Привести уравнение к виду: y’+p(x;y)=q(x).

2. Произвести замену y=uv, y’=u’v+v’u.

3. Сгруппировать слагаемые так, чтобы одну из функций u или v можно вынести за скобку.

4. Прировнять ворожение в скобках к нулю, найти одну из функций.

5. Подставить найденную функцию в уравнение найти др.

6. Записать ответ виде y=uv.

Уравнение вида называется уравнением Бернулли.

17. Дифференциальные уравнения высших порядков. Дифференциальные уравнения, допускающее понижение порядка. Линейное однородное дифференциальное уравнение высшего порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение вида у=f(x;y), не содержащее явным образом у решается методом понижения порядка с помощью замены у=р .

у=f(y;y)- не содержащая явным образом независимая переменная х приводится ДУ первого порядка заменой у=р.

Уравнение вида y’’F(y,y’) не содержит явным образом независимой переменной х приводится к ДУ 1 порядка. Заменим y’=p. Так как переменная является функция от х то х можно рассматривать как обратную функцию от у. Поэтому Р будет функцией переменной у. По правилу ДУ сложной функции получим y’=p p-функция от y.

18. Система n-линейных дифференциальных уравнений первого порядка, решение, сведение к линейному ду n-го порядка.

Для решения многих задач в математике, физике, электротехнике определить состав системы. В которой протекает несколько последовательных химических реакций первого порядка, отыскание векторных линий поля и других не редко требует несколько функций. Нахождение этих функций приводит к системе ДУ.

Система ДУ называется множество ДУ каждый из которых содержит независимую переменную искомую х и несколько переменных

Система ДУ первого порядка разрешенная относительно в производной называется нормальной системой ДУ

Решением системы (1) называется множество функций у1,у2,….уn удовлетворяющих каждый у уравнений. Задача нахождения частного решения системы (1) называется задачей Коши. Частное решение нахождения использованием начальных условий. Метод решения системы ДУ:

1. Метод исключения. Одним из основных методом интегрирования системы ДУ является метод сведения системы к одному ДУ высшего порядка

Продифференцируем 1 уравнение по Х.

Поставим z’ во второе уравнение: 4y’-y’’=6y-9z

Из 1 уравнения выразим z:

19. Понятие числового ряда, частичной суммы ряда, суммы ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Признак сходимости знакоположительности числовых рядов: признак сравнения Даламбера, признак Коши, интегральный критерий.

Числовым рядом называется сумма вида:

Где - это энный член ряда который образует бесконечную последовательность.

Частичной суммой ряда называется сумма n-первых членов ряда.

Если при бесконечном возрастании номер n части суммы ряда S стремится к пределу S.

, то ряд называется сходящимся, а число S называется суммой ряда. Если же этот предел не существует то ряд называется расходящимся.

Необходимые признаки сходимости ряда

Ряд может сходится только при условии что его общий член U при неограниченном увеличении номера n стремится к 0.

Необходимым признаком является достаточным для расходимости ряда.

Числовые ряды используются для доказательства сходимости и расходимости рядов.

1. Ряд геометрический:

Если |q|<1 то ряд сходится

Если |q|>1 то ряд расходится.

2. Гармонический: ряд расходится.

3. Обобщённо гармонический ряд:

Если p=1 то расходится

Если р<0 то расходится

Если p>1 то сходится

Достаточные признаком сходимости знакоположительного ряда.

1. Признак сравнения

Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого заведомо сходящегося ряда исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого заведомо расходящегося ряда. (Из сходимости большего ряда следует сходимость меньшего ряда, а из расходимости меньшего ряда следует расходимость большего:

Признак Даламбера:

Если для ряда с положительными членами сумма выполняет условие что предел отношения последующего члена ряда к предыдущему =L, то ряд сходится при L=1 и расходится при L>1. При L=1 признак Даламбера ответа на вопрос не даёт.