IV. Образцы билетов к зачету (1-ый семестр) Вариант 1
Дайте определение квадратной матрицы. Приведите пример квадратной матрицы третьего порядка ранга 2. Чему равен ее определитель?
Докажите, что для ненулевых векторов
выполняются неравенства
Найти координаты вектора
в ортогональном базисе:
,
,
.Вычислить произведения матриц:
и
.Вычислить обратную матрицу для следующей матрицы
.
Вариант 2
Сформулируйте правило Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений. Приведите пример применения правила Крамера.
Опишите операцию сопряжения комплексных чисел. Покажите, что сопряжение сохраняет сумму и произведение комплексных чисел.
Из системы столбцов заданной матрицы A выделить максимальную линейно независимую подсистему и представить остальные столбцы в виде линейных комбинаций выделенных:
.
Вычислить определитель матрицы
.
Решить матричное уравнение
.
V. Образцы экзаменационных билетов (2-ой семестр) Вариант 1
1. Дайте определение
ранга матрицы. Приведите примеры матриц
третьего порядка рангов 1, 2 и 3. Что можно
сказать об определителе произвольной
матрицы размера
ранга n
? Ответ обосновать.
2. Приведите пример симплекс-таблицы задачи линейного программирования, имеющей единственное решение.
3. Дайте определение фундаментального набора решений однородной системы линейных уравнений. Из скольких элементов он состоит? Приведите пример. Ответ обосновать.
4. Дополнить
следующие векторы до ортогонального
базиса:
,
.
5. Вычислить матрицу
.
Вычислить определитель матрицы
.
Найти канонические уравнения сторон треугольника ABC с вершинами
,
,
.Найти решение следующей задачи линейного программирования:
Вариант 2
1. Дайте определение
произведения матриц A
и B.
Приведите пример. Для любых ли квадратных
матриц верно равенство
?
Ответ обосновать.
2. Приведите пример симплекс-таблицы задачи линейного программирования, не имеющей решения.
3. Запишите общее решение однородной системы линейных уравнений. Образует ли множество решений однородной системы линейных уравнений линейное пространство? Ответ обосновать.
4. Найти общее решение следующей системы линейных уравнений, заданной в матричной форме:
.
5. Найти матрицу
.
Вычислить определитель матрицы
.Найти уравнения сторон треугольника с вершинами
,
,
.Привести к стандартной форме следующую задачу линейного программирования:
VI. Ответы Примеры задач (а)
1.
;
2.
;
3. 8;
4.
;
5.
;
6.
;
7. а) 3;
б) 2;
8.
;
9. а) линейно
зависима; б)
линейно
независима; 10.
,
;
11. а)
,
;
б)
,
;
в)
;
12.
;
13.
;
14.
,
;
15. а) 3;
б) 1;
16.
,
,
;
17.
,
,
;
18. а) 3;
б) 4;
в) 2;
г) 2;
д) 2;
е) 3;
19.
;
20.
;
21. а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
22.
;
23.
;
24. а)
;
б)
;
25. 36;
26. а) 54;
б) 48;
27. 64;
28.
;
29. а) 2,
;
б)
,
1;
30. а)
;
б)
;
31.
;
32.
;
33.
;
34. а) 10;
б)
;
35. а)
;
б)
;
в)
;
36.
;
37. а)
,
;
б)
,
;
в)
,
;
г)
,
,
;
д)
,
,
;
е)
,
,
;
38.
,
;
39.
,
;
40.
,
;
41.
;
42.
;
43.
;
44.
;
45. а) 3;
б) 2;
в) 1;
г) 1;
46. а) 3;
б) 1;
в) 2;
47. Да;
48. Нет;
49. а) 60;
б) 45;
в) 30;
г) 90;
50.
;
51.
;
52.
;
53.
;
54.
;
55.
;
56. а) 2;
б) 2;
57.
;
58.
;
59.
;
60. а) Гипербола;
б) Эллипс;
в) Парабола;
61.
;
62.
; 63. 7;
64. 3;
65.
;
66.
;
67.
;
68.
;
69.
;
70. 5;
71.
;
72.
;
73. a)
min
в точке
б) min
в точке:
,
max
в точке:
,
в) max
в точке:
74.
75.
