- •I. Программа дисциплины «линейная алгебра»
- •1. Линейные пространства
- •2. Системы линейных уравнений. Матрицы и определители
- •3. Многочлены и комплексные числа
- •4. Линейные преобразования и квадратичные формы
- •5. Элементы аналитической геометрии
- •6. Линейное программирование
- •II. Структура зачета и экзамена
- •Методика расчета итоговой оценки
- •III. Содержание зачета и экзамена Теоретические вопросы (а)
- •Теоретические вопросы (б)
- •Практические задания
- •Примеры задач (а)
- •Примеры задач (б)
- •IV. Образцы билетов к зачету (1-ый семестр) Вариант 1
- •Вариант 2
- •Решить матричное уравнение
- •V. Образцы экзаменационных билетов (2-ой семестр) Вариант 1
- •Вариант 2
- •VI. Ответы Примеры задач (а)
- •Примеры задач (б)
- •Образцы билетов для зачета (1-й семестр)
- •Образцы экзаменационных билетов (2-й семестр)
- •VII. Рекомендуемая литература
Примеры задач (а)
1. Найдите вектор , где , и .
2. Найдите вектор из уравнения , если , и .
3. Найдите длину вектора , где и .
4. Найдите скалярное произведение векторов и .
5. Найдите косинус угла между векторами и .
6. Вычислите: , где , , .
7. Вычислите ранг системы векторов: а) , , ; б) , , .
8. Разложите вектор по базису , .
9. Исследуйте на линейную зависимость систему векторов: а) , , ; б) , , .
10. Найти координаты вектора в ортогональном базисе: , .
11. Решите по формулам Крамера систему уравнений:
а) ; б) ; в) .
12. Решите методом Гаусса систему уравнений , выбирая и в качестве базисных переменных. В ответе укажите базисное решение.
13. Решите систему уравнений , выбирая и в качестве базисных переменных. В ответе укажите базисное решение.
14. Найдите фундаментальный набор решений системы .
15. Найдите размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений, записанной в матричной форме:
а) ; б) ;
16. Решите систему линейных уравнений, заданную в матричной форме:
.
17. Решите систему линейных уравнений:
18. Найдите ранг матрицы:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ;е) .
19. Найдите матрицу , если и .
20. Найдите матрицу , если , где , .
21. Вычислите где:
а) и ; б) и ;
в) и ; г) и ;
22. Вычислите где и .
23. Вычислите матрицу .
24. Вычислите , если: а) ; б) .
25. Вычислите определитель матрицы .
26. Вычислите: а) ; б) .
27. Вычислите определитель матрицы , если .
28. Вычислите определитель матрицы , если .
29. Найдите целые корни многочленов
а) ; б) .
30. Найдите наибольший общий делитель многочленов:
а) и ;
б) и .
31. Запишите в тригонометрической форме комплексное число .
32. Решите уравнение в области комплексных чисел: а) ;
б) .
33. Найдите модуль комплексного числа , если .
34. Найдите модуль комплексного числа , если:
а) , , ; б) , , .
35. Найдите аргумент комплексного числа , если:
а) , , , ;
б) , , ;
в) , , .
36. Запишите квадратное уравнение с действительными коэффициентами, которое имеет корень .
37. Найдите собственные значения матрицы:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
38. Найдите собственные значения матрицы , если .
39. Найдите собственные значения матрицы , если .
40. В пространстве столбцов действует линейное преобразование по правилу: . Напишите матрицу преобразования в стандартном базисе и найдите , где .
41. В пространстве действует линейное преобразование по правилу: . Напишите матрицу преобразования в стандартном базисе.
42. В пространстве столбцов действует линейное преобразование по правилу: . Найдите образ вектора .
43. В пространстве действует линейное преобразование по правилу: . Найдите образ вектора .
44. Линейное преобразование пространства задано в стандартном базисе своей матрицей . Найдите образ вектора .
45. Вычислите ранг квадратичной формы:
а) ;
б) ;
в)
г) .
46. Вычислите ранг квадратичной формы, если ее матрица в некотором базисе имеет вид:
а) ; б) ; в)
47. Выясните, является ли положительно определенной квадратичная форма .
48. Выясните, является ли знакоопределенной квадратичная форма
.
49. Найдите угол в треугольнике с вершинами
а) , , ; б) , , ; в) , , ; г) , , .
50. Найдите точку пересечения прямых и .
51. Записать общее уравнение прямой на плоскости, которая проходит через точку , в направлении вектора .
52. Записать общее уравнение прямой на плоскости, которая проходит через точку имеет нормальный вектор .
53. Найдите уравнение прямой, содержащей точку и перпендикулярной к прямой, проходящей через точки и .
54. Найдите общее уравнение прямой, проходящей через точки и .
55. Найдите общее уравнение прямой, содержащей точку и параллельной прямой .
56. Найдите расстояние от точки до прямой
а) , ;б) , .
57. Найдите эксцентриситет эллипса .
58. Найдите эксцентриситет гиперболы .
59. Запишите уравнения асимптот гиперболы .
60. Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением:
а) ; б) ;
в) .
61. Две прямые заданы уравнениями и . Найдите косинус угла между ними.
62. Найдите косинус угла между плоскостями и .
63. Найдите расстояние от точки до плоскости .
64. Найдите расстояние между параллельными плоскостями и .
65. Найдите общее уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной прямой .
66. Найдите общее уравнение плоскости, содержащей точку и перпендикулярной вектору .
67. Найдите общее уравнение плоскости , которая параллельна плоскости и проходит через точку .
68. Найдите общее уравнение плоскости, проходящей через три точки
а) , , ; б) , , ; в) , , .
69. Найдите точку пересечения прямой и плоскости .
70. Найдите длину отрезка , если , .
71. Пусть – выпуклая оболочка точек , , . Найдите ограничения в виде системы неравенств, которые задают множество .
72. Пусть – выпуклая оболочка точек , , , . Найдите ограничения в виде системы неравенств, которые задают множество .
73. Решите графически задачи линейного программирования:
, ,
74. Привести к стандартной форме следующую задачу линейного программирования:
.
75. Дана начальная симплекс-таблица задачи линейного программирования на минимум:
.
Решить задачу симплекс-методом.