5. Элементы аналитической геометрии
Прямая и гиперплоскость в n-мерном пространстве. Угол между гиперплоскостями. Расстояние от точки до гиперплоскости. Прямая на плоскости и в пространстве. Прямая, отрезок, луч в n-мерном пространстве. Плоскость в трехмерном пространстве.
Классификация кривых второго порядка *. Эллипс, гипербола и парабола, их свойства и канонические уравнения. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.
Классификация поверхностей второго порядка *. Эллипсоиды, параболоиды и гиперболоиды, их канонические уравнения.
Выпуклые множества в пространстве . Полупространства, выпуклые многогранные области. Системы линейных неравенств и их геометрический смысл. Угловые точки выпуклых многогранных областей. Выпуклая оболочка системы точек в .
6. Линейное программирование
6.1. Примеры экономико-математических моделей, приводящих к задачам линейного программирования. Формы задач линейного программирования: общая, стандартная, каноническая.
6.2. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования в случае двух переменных. Графический метод решения. Решение задачи линейного программирования методом перебора вершин.
6.3. Метод последовательного улучшения базисного плана (симплекс-метод). Алгоритм симплекс-метода. Нахождение исходного допустимого базиса (метод искусственного базиса).
6.4. Понятие о взаимно-двойственных задачах линейного программирования. Основные теоремы двойственности. Двойственность в экономико-математических моделях.
II. Структура зачета и экзамена
Зачет проводится в письменной форме в первую сессию.
Билет для зачета состоит из 5 заданий. Каждое верно выполненное задание оценивается в 20 баллов. На выполнение всех заданий отводится 1,5 часа.
Экзамен проводится в письменной форме во вторую сессию. Экзаменационный билет состоит из 8 заданий. Каждое верно выполненное задание оценивается в 10 баллов. На выполнение всех заданий отводится 2 часа.
Методика расчета итоговой оценки
Зачет ставится за выполнение первой домашней работы (до 10 баллов) и за письменную работу (не менее 3-х правильно решенных заданий). Возможно получение зачета «автоматом».
Письменный экзамен (максимум 80 баллов) + баллы за домашние работы в семестре (максимум 20 баллов).
51-69 баллов |
70-85 баллов |
86-100 |
«удовлетворительно» |
«хорошо» |
«отлично» |
80-балльная оценка за письменный экзамен получается суммированием 10-балльных оценок за ответ на каждый экзаменационный вопрос (в билете 8 вопросов).
20-балльная оценка за работу в семестре складывается из 10-бальной оценки за первую домашнюю работу и 10-бальной оценки за вторую домашнюю работу.
Расчет 20-балльной оценки за каждую половину семестра основывается на: 1) оценках за домашние контрольные работы, 2) ответах у доски, 3) посещении семинарских занятий и консультаций.
III. Содержание зачета и экзамена Теоретические вопросы (а)
(определения, свойства и теоремы на уровне формулировок)
Определение линейного пространства.
Определение подпространства линейного пространства. Критерий подпространства.
Понятие линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. Свойства линейной зависимости.
Определения ранга системы векторов и базиса линейного пространства.
Определение ортогональной системы векторов.
Определение скалярного произведения векторов в
и его свойства.Понятия определенной и неопределенной систем уравнений.
Определение фундаментального набора решений системы уравнений.
Определение ранга матрицы.
Понятия вырожденной и невырожденной матриц.
Определение ортогональной матрицы.
Правило умножения матриц. Свойства умножения матриц.
Определение обратной матрицы и ее свойства.
Свойства определителей.
Теоремы о целых и рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.
Теорема Безу и следствия из нее.
Определение модуля и аргумента комплексного числа.
Формула Муавра.
Основная теорема алгебры.
Определение линейного преобразования.
Определения собственных векторов и собственных значений. Свойства собственных векторов.
Определение квадратичной формы.
Закон инерции квадратичных форм.
Критерий Сильвестра.
Формула расстояния между точками в многомерном пространстве. Свойства расстояния.
Определение отрезка, теорема об отрезке.
Определение
-
плоскости. Гиперплоскость.Определение и свойства выпуклого множества.
Определение и примеры кривых второго порядка.
Определение и примеры поверхностей второго порядка.
Определение угловых точек выпуклого множества.
Определение стандартной задачи линейного программирования.
Определение канонической задачи линейного программирования.
Графическое решение задач линейного программирования.
Определение двойственной задачи линейного программирования.
Симплекс-метод решения задач линейного программирования.