Теоретические вопросы (б)
(теоретические вопросы на доказательство)
Неравенство Коши-Буняковского.
Неравенство треугольника.
Линейная независимость лестничной системы векторов.
Однозначность разложения вектора по базису.
Формула умножения комплексных чисел в тригонометрической форме.
Формула деления комплексных чисел в тригонометрической форме.
Существование бесконечного числа решений у системы линейных однородных уравнений, в которой число неизвестных больше числа уравнений.
Теорема о пространстве решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.
Теорема о связи общих решений неоднородной и однородной систем линейных алгебраических уравнений.
Формулы Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Линейная независимость векторов, составляющих ортонормированную систему.
Формулы для вычисления координат вектора в ортогональном базисе.
Невырожденность ортогональной матрицы.
Изменение матрицы линейного преобразования при замене базиса.
Равенство характеристических многочленов подобных матриц.
Ортогональность собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям самосопряженного линейного преобразования.
Изменение матрицы квадратичной формы при замене базиса.
Вывод канонического уравнения эллипса.
Вывод канонического уравнения гиперболы.
Выпуклость пересечения выпуклых множеств.
Переход от стандартной задачи линейного программирования к канонической.
Переход от канонической задачи линейного программирования к стандартной.
Линии уровня и графическое решение задач линейного программирования.
Алгоритм симплекс-метода.
Нахождение исходного допустимого базиса (метод искусственного базиса).
Основные теоремы двойственности.
Практические задания
Линейные операции над векторами в
.Вычисление скалярных произведений, длин векторов и угла между векторами в
.Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
Исследование систем векторов на линейную зависимость.
Вычисление ранга системы векторов.
Разложение вектора по базису общего вида в .
Вычисление координат вектора относительно заданного ортогонального базиса в .
Нахождение размерности пространства решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.
Построение фундаментального набора решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.
Вычисление ранга матрицы.
Линейные операции над матрицами. Транспонирование матриц.
Вычисление произведения матриц.
Вычисление обратной матрицы.
Вычисление определителей.
Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.
Нахождение целых и рациональных корней многочленов с целыми коэффициентами. Разложение многочленов на множители.
Деление многочленов уголком. Нахождение НОД многочленов с помощью алгоритма Евклида.
Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов.
Вычисления с комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме.
Перевод комплексных чисел из алгебраической формы в тригонометрическую форму.
Решение простейших алгебраических уравнений с действительными коэффициентами в области комплексных чисел.
Нахождение собственных векторов и собственных значений квадратной матрицы.
Нахождение матрицы линейного преобразования. Вычисление ранга линейного преобразования.
Нахождение образа вектора при линейном преобразовании пространства .
Нахождение матрицы квадратичной формы. Вычисление ранга квадратичной формы.
Приведение квадратичной формы к нормальному виду методом Лагранжа.
Исследование квадратичной формы на знакоопределенность по критерию Сильвестра.
Нахождение общего уравнения прямой на плоскости, заданной различными способами.
Нахождение точки пересечения прямых и угла между парой прямых на плоскости.
Вычисление расстояния от точки до прямой и расстояния между параллельными прямыми на плоскости.
Определение вида кривой второго порядка по общему уравнению.
Нахождение основных характеристик кривых второго порядка по их каноническим уравнениям.
Нахождение общего уравнения плоскости в трехмерном пространстве, заданной различными способами.
Вычисление расстояния от точки до плоскости и расстояния между парой параллельных плоскостей в трехмерном пространстве.
Нахождение точки пересечения прямой и плоскости.
Задание выпуклых многогранных областей системами линейных неравенств. Нахождение вершин выпуклых многогранных областей.
Графическое решение стандартных задач линейного программирования.
Метод последовательного улучшения базисного плана (симплекс-метод) решения канонических задач линейного программирования.
Метод искусственного базиса решения канонических задач линейного программирования.
Решение взаимо-двойственных задач линейного программирования.