Примеры задач (б)

1. Разложите векторы и по базису, состоящему из векторов , , .

2. При каких значениях параметра векторы , , линейно зависимы? Выразить вектор в виде линейной комбинации векторов и .

3. Даны векторы , , , . При каких значениях параметров , , верно равенство ?

4. Найти все значения параметра , при которых вектор линейно выражается через векторы , , .

5. При каких значениях параметра векторы и ортогональны?

6. При каких значениях параметра векторы , , образуют базис пространства ?

7. При каких значениях параметра векторы , , образуют ортогональный базис пространства ?

8. При каких значениях параметра векторы , , компланарны?

9. Найдите значения параметра , при которых строки заданной матрицы линейно зависимы:

а) ; б) .

10. Найдите общее решение системы линейных уравнений, заданной в матричной форме:

а) ; б) ;

в) .

11. Найдите значения параметра , при которых следующая система линейных уравнений, заданная в матричной форме, имеет бесконечно много решений; для найденных значений параметра укажите общее решение системы: .

12. При каких значениях параметра однородная система уравнений имеет ненулевые решения?

13. При каких значениях параметра система уравнений имеет единственное решение?

14. При каких значениях параметра матрица является невырожденной?

15. При каких значениях параметра ранг матрицы равен 4?

16. При каких значениях параметра ранг матрицы равен 3?

17. Используя равенство , найдите матрицу .

18. Вычислите степень ортогональной матрицы .

19. Вычислите определитель матрицы

а) ; б) ;

в) .

20. Найдите определитель матрицы , если .

21. Представьте дробь в виде суммы многочлена и простейших дробей над :

а) ;

б) .

22. Решите систему уравнений по формулам Крамера: .

23. Методом Лагранжа приведите к нормальному виду квадратичную форму .

24. При каких значениях параметра квадратичная форма является положительно определенной?

25. При каких значениях параметра квадратичная форма является отрицательно определенной?

26. Найдите собственные значения матрицы:

а) ; б) .

27. Найдите собственные векторы матрицы , отвечающие собственному значению , если:

а) , ; б) , .

28. При каких значениях параметра матрица имеет единственное действительное собственное значение? Найти это значение.

29. При каких значениях параметра матрица имеет: 1) имеет два различных действительных собственных значения; 2) единственное действительное собственное значение; 3) не имеет действительных собственных значений?

30. При каких значениях параметра матрица имеет нулевое собственное значение?

31. Найдите координаты вектора в базисе , , , если – его координаты в базисе , , .

32. В пространстве строк действует линейное преобразование по правилу: . Найдите его собственные векторы, если известно, что оно имеет следующие собственные значения: , , .

33. Найдите проекцию точки на прямую, содержащую точки и .

34. Найдите проекцию точки напрямую : .

35. Найдите точку , симметричную точке относительно прямой : .

36. Найдите точку , симметричную точке относительно прямой, содержащей точки и .

37. Даны точки , , . При каком значении параметра вектор является вектором медианы треугольника ?

38. В треугольнике векторы , . При каком значении параметра вектор является вектором высоты треугольника ( основание высоты принадлежит стороне )?

39. В треугольнике векторы , . При каком значении параметра вектор является вектором биссектрисы треугольника ( )? Проверить, что при найденном значении параметра вектор является вектором биссектрисы треугольника .

40. При каких значениях параметра прямые и пересекаются под прямым углом?

41. При каких значениях параметра прямые и пересекаются под углом ?

42. При каких значениях параметра прямые и параллельны, но не совпадают?

43. Составьте каноническое уравнение эллипса, для которого эксцентриситет равен , а расстояние между фокусами равно .

44. Составьте каноническое уравнение эллипса, для которого эксцентриситет равен , а расстояние между фокусами равно .

45. Составьте каноническое уравнение гиперболы, для которой эксцентриситет равен , а расстояние между фокусами равно .

46. Составьте каноническое уравнение гиперболы, для которой расстояние между фокусами равно , а асимптоты имеют уравнения .

47. Найдите проекцию точки на плоскость ..

48. Найдите точку , симметричную точке относительно плоскости .

49. Найдите точку , симметричную точке относительно прямой .

50. Найдите канонические уравнения прямой, содержащей медиану треугольника с вершинами , и .

51. При каких значениях параметра точка принадлежит отрезку (или является комбинацией точек и ), если и ?

52. При каких значениях параметра прямые и пересекаются?

53. При каких значениях параметра прямые и скрещиваются?

54. При каких значениях параметра прямые и параллельны, но не совпадают?

55. При каких значениях параметра прямые и совпадают?

56. При каких значениях параметра в пространстве прямая ортогональна гиперплоскости ?

57. Найдите угловые точки выпуклого множества, заданного системой линейных ограничений:

а) ; б)

58. Решить симплексным методом задачи линейного программирования:

, .

59. Составить по общему правилу двойственную задачу к исходной задаче линейного программирования. Решить исходную задачу графическим методом. Найти оптимальное решение двойственной задачи с помощью теоремы равновесия.

при