Перемешивание

Существуют гамильтоновые системы с более сложными режимами движения. Для таких систем начальный элементарный объем, перемещаясь по всей энергетически доступной гиперповерхности, сильно деформируется, выпуская нерегулярного вида отростки, но при этом не разрывается.

Поэтому спустя некоторое время начальная область так распределится по всей гиперповерхности, что ее кусочки можно будет обнаружить в любой части гиперповерхности независимо от размеров, формы и расположения исходной области .

Такие системы обладают, как говорят, перемешиванием.

По существу понятие перемешивания очень просто. Приведем пример Гиббса. Пусть в сосуде содержится 30% процентов чернил и 70% воды, причем в начальный момент жидкости не перемешаны. Теперь хорошо взболтаем содержимое сосуда. Спустя некоторое время – время перемешивания – естественно ожидать, что любая часть получившейся смеси будет состоять из 30% процентов чернил и 70% процентов воды.

Формализация подобного процесса при условии, что и чернила, и вода не разрываются на отдельные капли, приводит к понятию перемешивания.

Как правило, перемешивание имеет место тогда, когда в фазовом пространстве близкие в начальный момент изображающие точки будут двигаться по сильно расходящимся траекториям (неустойчивость).

Рассмотрим две малые области А и В с мерами . Будем считать , что область В остается неподвижной, а область А эволюционирует с течением времени

. (1)

Пусть представляет собой совокупность всех частей , оказавшихся в момент внутри неподвижной области В. Для гамильтоновой системы

(2)

Далее имеем

. (3)

На основании соображений, приведенных выше, вытекает следующее определение

Динамическая система наз. перемешивающей, если

(4)

Исходная область А при превращается в очень тонкую всепроникающую паутинку, нити которой можно обнаружить внутри любого сколь угодно малого элемента объема. Суммарный объем, занимаемый паутиной, равен начальному объему области А. Более того, при паутина равномерно и однородно пронизывает фазовое пространство: внутри любой наугад взятой области нити паутины занимают одну и ту же относительную долю объема. При этом исходную область А можно выбрать сколь угодно малой и расположить ее в любой доступной области фазового пространства. Тем не менее при эта область превращается в пронизывающую все паутину. Это означает, что фазовые траектории динамической системы с перемешиванием всегда абсолютно неустойчивы по отношению к малым возмущениям и разбегаются с течением времени.

Разбегание траекторий означает непредсказуемость поведения системы. Если при положение фазовой точки было известно с конечной точностью, т.е. при мы знали, что эта точка с характерным малым размером , то невозможно сказать через достаточно большой промежуток времени , где она будет находиться.

Перемешивание приводит к необратимости. Зная, что в конечный момент времени частица находилась в пределах малой области , мы принципиально не можем сказать, где она находилась в начальный момент времени.

Поэтому детерминированное описание систем с перемешиванием на достаточно больших промежутках времени не имеет, по существу, смысла.