Лекции по нелинейной физике. Часть II

Раздел. Динамические системы

Динамической системой наз. система вида

. (1)

Начальные условия

(2)

Для существования и единственности решения задачи (1),

(2) достаточно потребовать непрерывность правых частей, а также существование и непрерывность частных производных

, на некотором открытом множестве размерности .

Детерминизм динамических систем обусловлен, как считалось ранее, единственностью решения задачи Коши. Однако абсолютно точное задание начальных условий для задачи Коши невозможно, и это обстоятельство во многих случаях приводит к радикальным изменениям в трактовке поведения физической системы. Формально хорошо известная теорема Коши о существовании и единственности решения обычно выполняется, однако неустойчивость по отношению к изменению начальных условий приводит к тому, что поведение динамической системы становится по существу недетерминированным и на больших временах может определяться некоторым предельным распределением вероятности. При этом форма распределения вероятности будет определяться только видом динамической системы и не будет зависеть от первоначальной неопределенности в задании начальных условий, которая может быть сколь угодно малой. В этом смысле можно сказать, что система (1), (2)

внутренне содержит в себе «случайность», для проявления которой достаточно сколь угодно малой неточности в задании начальных условий. Таким образом, казалось бы полностью детерминированные системы могут вести себя случайно. Это явление называется динамическим хаосом или детеминированным хаосом.

Пример динамической системы – системы уравнений Гамильтона:

. (3)

Краткая запись

, (4)

. (5)

Опр. Ф. , которая при подстановке в (1) обращает их в тождества, наз. общим интегралом системы (1).

Точное задание начальных условий

(6)

однозначно определяет решение в любой момент времени t:

. (7)

Решение (1) можно представить как линию в n-мерном пространстве, образованном переменными . Это пространство наз. фазовым пространством. Каждому состоянию этой системы соответствует точка в этом пространстве. Траектория изображающей точки наз. фазовой траекторией.

Автономной системой наз. система , поведение которой определяется системой обыкновенных дифференциальных уравнений

, (8)

т.е. системой (1), где правые части не зависят явно от времени.

Всякая система может быть формально сведена к автономной. Для этого систему (1) записывают в виде

(9)

системы порядка.

Ф. наз. векторным полем фазовой скорости.

Система (1) осуществляет отображение

, (10)

т .е. произвольной точке фазового пространства ставится в соответствие определенная точка по правилу .

Оператор наз. оператором эволюции, фазовым потоком, оператором сдвига.

Действие

Рис.1

Св-во: Если система является гамильтоновой, то по теореме Лиувилля фазовый поток сохраняет фазовый объем

. (11)

Фазовые траектории нигде не пересекаются в силу теоремы о единственности решения, кроме особых точек, составляющих множество нулевой меры. Поэтому с точностью до этого множества можно сказать, что оператор осуществляет взаимно однозначное отображение фазового пространства в себя.

Раздел. Отображения. Динамические системы с дискретным временем.

Пусть - оператор сдвига на время

. (12)

Тогда для гамильтоновой системы можно записать

. (13)

При таком описании состояние динамической системы -динамической системы с дискретным временем -определяется лишь в определенные дискретные моменты времени. Иногда такое описание позволяет существенно упростить задачу. В общем случае действие оператора определяется только численно. Однако, если эволюция системы происходит вследствие кратковременных толчков, то используя свойства - функции Дирака, вид отображения можно найти аналитически. В общем случае отображение может быть записано так:

, (14)

где - совокупность «управляющих» параметров, если таковые имеются. Управляющие параметры могут также изменяться в процессе отображения.

Отображения вида (14) наз. также каскадами.

Отображение Пуанкаре

Рассмотрим гамильтонову систему с двумя степенями свободы: частица движется на плоскости и ее положение определяется вектором . Пусть гамильтониан явно не зависит от времени и поэтому энергия сохраняется:

. (15)

Фазовое пространство четырехмерно. Фазовые траектории находятся на трехмерной энергетической гиперповерхности. Соотношение (15) позволяет, по крайней мере, локально выразить любую из четырех переменных как функцию трех остальных, например

. (16)

Таким образом, фазовое пространство фактически становится трехмерным (если нет дополнительных интегралов движения). Выберем в этом трехмерном пространстве некоторую поверхность , например, некоторую плоскость и рассмотрим ее последовательные пересечения фазовой траекторией в направлении возрастания времени.

При этом получим некоторую последовательность точек пересечения

Такое отображение точек на поверхности осуществляется с помощью некоторой функции :

Опр. Функция наз. функцией последования или отображением

Пуанкаре.

Совокупность точек также называется отображением Пуанкаре.

Понятие отображения Пуанкаре можно распространить и на системы с

. Для автономных систем размерность энергетической гиперповерхности, на которой расположены фазовые кривые, равна

. В этом случае рассматриваются последовательные точки пересечения траектории динамической системы с - мерной гиперповерхностью при условии, что поток нигде не касается , а «протыкает» ее. Если помимо интеграла энергии имеется еще интегралов движения, то размерность усеченного фазового пространства равна , а размерность гиперповерхности равна .

Если известна структура следов на секущей поверхности , это дает возможность наглядно представить динамику системы.

Так называемому квазипериодическому движению соответствует отображение Пуанкаре, множество точек которого плотно заполняет определенную замкнутую кривую.

Наконец существуют системы, для которых при некоторых условиях траектория на представлена хаотическим множеством точек. Режим эволюции таких точек не является ни периодическим, ни квазипериодическим.

Раздел. Интегрируемые системы.

Мы уже говорили - уравнения Гамильтона обладают тем важным свойством, что допускают широкий класс преобразований канонических переменных (канонические преобразования), при которых не изменяется общая форма уравнений для любой гамильтоновой системы:

(1)

, (2)

. (3)

Такие преобразования могут быть полезны при построении решений и анализе физической картины движения.

Одно из важных и часто используемых преобразований является преобразование

, (4)

при котором в новых переменных не зависит от координат :

. (5)

В этом случае переменные называются переменными действия, а соответствующие сопряженные переменные называются переменными типа угол.

Такие преобразования однако возможны лишь в определенных специальных случаях.

В этих случаях имеем

. (6)

Эта система легко интегрируется:

. (7)

Отсюда по формулам преобразований можно найти исходные координаты и импульсы:

, (8)

. (9)

Опр. Гамильтонова система (1) наз. полностью интегрируемой, если существует каноническое преобразование, с помощью которого можно перейти к переменным действие-угол.