Теорема кам
Колмогоров, Арнольд, Мозер
Системы, близкие к интегрируемым
.
(1)
Уравнения Гамильтона
(2)
Если
, то система является полностью
интегрируемой и ее решения будут
покрывать n-мерные
концентрические торы.
Исследования
показали: при достаточно малых
большинство нерезонансных торов
сохраняется и лишь немного деформируется.
Качественная формулировка теоремы КАМ:
Если
невозмущенная гамильтоновская система
невырождена , то при достаточно малом
консервативном гамильтоновском
возмущении большинство нерезонансных
инвариантных торов не исчезает, а лишь
немного деформируется, так что в фазовом
пространстве возмущенной системы
существуют инвариантные торы, заполненные
всюду плотно фазовыми кривыми,
обматывающими их квазипериодически.
При достаточно малых
энергетическую гиперповерхность
можно разбить на две области ненулевого
объема. Большая из них содержит
деформированные нерезонансные торы
невозмущенной задачи, а в меньшей области
(объем которой стремится к нулю при
)
движение оказывается очень сложным.
Условие невырожденности означает, что
.
(3)
Условие
(3) – это условие функциональной
независимости частот
.
Возмущение
действует так. Оно разрушает торы,
лежащие в малой окрестности резонансных
торов. При
разрушенные торы лежат между инвариантными
торами.
О глобальном поведении гамильтоновых систем
Существует качественное различие между динамическими системами с и системами с числом степеней свободы . При инвариантные торы являются двухмерными. Эти двухмерные торы делят энергетическую гиперповерхность на непересекающиеся области, и разрушенные торы оказываются зажатыми между ними. Фазовая траектория в щели между двумя инвариантными торами оказывается запертой здесь навсегда. При этом величины практически не изменяются и при движении остаются вблизи своих начальных значений. Угловые же переменные при этом нерегулярно изменяются.
Рассмотрим
некоторую
-
мерную область. Эта область разобьется
на непересекающиеся части , если
размерность разделяющей гиперповерхности
равна
.
Для автономных гамильтоновых систем
размерность уровня энергии
равна
.
Поэтому размерность разделяющей
гиперповерхности должна быть равной
.
Чтобы инвариантные торы делили область
на непересекающиеся части их размерность
должна удовлетворять условию
.
Отсюда вытекает
.
При - мерные инвариантные торы уже не делят энергетическую гиперповерхность на непересекающиеся части , поэтому области разрушения могут, соединяясь, пронизывать все фазовое пространство. Области разрушенных торов сливаются , образуя сплошную единую сеть, которую называют паутиной Арнольда. Двигаясь по нитям этой паутины, фазовая точка может удаляться на значительное расстояние от своего первоначального положения. Это явление получило название диффузии Арнольда. При диффузия существует всегда, даже при сколь угодно малых .
Поэтому для гамильтоновых систем, близких к интегрируемым, при характерно отсутствие глобальной устойчивости.