Структурная устойчивость (грубость)

Если динамическая система при малых возмущениях правых частей не изменяется качественно, то такую систему естественно назвать структурно устойчивой или грубой. Под термином «не изменяется качественно» понимают: фазовый портрет грубой системы топологически не меняется при малом изменении параметров системы, т.е. сохраняются основные элементы фазового портрета и их взаимосвязи. Если , например, на фазовой плоскости был цикл и внутри него одна неустойчивая точка, то в грубой системе при малом изменении параметров эти особые элементы остаются. При этом может лишь, например, немного измениться форма цикла.

Работающие физические устройства обычно должны быть грубыми.

Рассмотрим ограниченную область фазового пространства и пока случай . Понятие структурной устойчивости было введено Андроновым и Понтрягиным в 1937 году.

Дадим теперь точное определение .

Динамическая система

(1)

наз. структурно устойчивой или грубой, если существует такое малое , что все динамические системы, определяемые уравнениями

(2)

имеют топологически эквивалентные фазовые портреты при выполнении неравенства

. (3)

Топологическая эквивалентность означает существование взаимно однозначного и взаимно непрерывного отображения (гомеоморфизм)

, (4)

переводящего фазовые траектории невозмущенной системы в фазовые траектории возмущенной системы (2).

Правые части могут зависеть от параметра

. (5)

Ясно, что не при всяком изменении параметра топологическая эквивалентность сохраняется. Можно так изменить параметр , что произойдет качественное изменение фазового портрета. Переход от одного грубого портрета к другому происходит через негрубое состояние, называемое бифуркационным.

Неподвижные точки, для которых выполняется условие наз. гиперболическими. Доказано, что из гиперболичности вытекает локальная структурная устойчивость.

Для доказательства топологической эквивалентности иногда используют так называемое гомологическое уравнение.

Получим это уравнение для динамической системы, порожденной отображением

. (6)

Допустим, что к добавлено малое возмущение , причем функция непрерывна и дифференцируема. Получим отображение

. (7)

Для выполнения свойства структурной устойчивости необходимо, чтобы существовала непрерывная функция :

для всех . (8)

Функцию можно искать в виде

. (9)

Отсюда имеем

. (10)

Подставим в это равенство выражение (9), после чего получим

.

(11)

Отсюда получаем

.

(12)

Выражения в правой части (12) разлагаем в ряд, ограничиваясь членами, пропорциональными . В итоге получим

, . (13)

Для того чтобы рассматриваемая динамическая система была структурно устойчивой, гомологическое уравнение (13) должно быть разрешимо для произвольной непрерывной и непрерывно дифференцируемой функции .

В многомерном случае уравнение (13) заменяется на уравнение

. (14)

Здесь - матрица Якоби.

Первоначально казалось, что негрубые системы – это лишь граничные случаи между различными грубыми системами. Однако было установлено, что в многомерном случае негрубые системы могут заполнять целые области пространства динамических систем, причем существование таких областей является в многомерном случае типичным.