- •Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники с.И. Колесникова высшая математика III
- •Общие методические указания
- •Предмет теории вероятностей и математической статистики
- •Случайные события
- •Испытания и события
- •Виды событий
- •Классическое определение вероятности
- •Основные формулы комбинаторики
- •Произведение и сумма событий
- •Условная вероятность. Вероятность произведения событий
- •Вероятность суммы событий
- •Формула полной вероятности
- •Формула байеса
- •Последовательности испытаний. Формула бернулли
- •Предельные теоремы в схеме бернулли
- •Случайные величины
- •Понятие случайной величины
- •Закон распределения дискретной случайной величины
- •Функция распределения
- •Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал
- •Плотность распределения
- •Числовые характеристики случайной величины
- •Примеры дискретных распределений
- •Примеры непрерывных распределений
- •Элементы математической статистики
- •Выборочный метод
- •Генеральная совокупность и выборочная
- •Вариационный ряд. Полигон частот и гистограмма эмпирическая функция распределения
- •Статистическое оценивание
- •Оценка параметров генеральной совокупности. Точечная оценка и ее свойства
- •Оценка с помощью интервалов
- •Проверка статистических гипотез
- •Проверка гипотез о виде распределения. Критерий согласия пирсона
- •Контрольная работа 3.1
- •Контрольная работа 3.2
- •Пример выполнения контрольной работы 3 (ч.2)
- •Алгоритм выполнения задания по проверке статистической гипотезы о виде распределения4
- •Рекомендуемая основная литература
- •Дополнительная литература
- •Критические точки распределения
- •Критические точки распределения Стьюдента
Произведение и сумма событий
Произведением двух событий А я В называется событие АВ, состоящее в том, что происходит каждое из этих событий.
Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в появлении всех этих событий.
Суммой двух событий А и В называется событие А+В, состоящее в том, что происходит хотя бы одно из этих событий.
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.
Пример 2.9. Из урны, содержащей не менее двух белых и двух черных шаров, последовательно извлекаются два шара.
А = {белый шар при первом извлечении};
В = {белый шар при втором извлечении};
АВ = {белые шары при первом и втором извлечениях};
А+В = {первый шар – белый, второй – черный, или первый шар – черный, второй – белый, или первый и второй шары – белые}.
Условная вероятность. Вероятность произведения событий
Определение 2.2. Вероятность события А, вычисленная при условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью события А при наличии события В и обозначается Р(А|В).
Пример 2.10. Опыт: подбрасывание двух монет. События:
А = {выпадение «орла» на обеих монетах};
В = {выпадение «орла» на одной из монет}.
Найти вероятность Р(А). Общее число возможных исходов опыта n=4 (оо, ор, рр, ро), благоприятствующий исход один (оо), следовательно, Р(А)=1/4. (Здесь обозначено за "о" – "орел", за "р" – "решка").
Найти теперь условную вероятность Р(А|В). Поскольку известно, что произошло событие В, число возможных исходов испытания п–1 (оо, ор, ро), благоприятствующий исход по–прежнему один, следовательно, Р(А|В)=1/3.
Теорема. Вероятность произведения двух событий А и В, равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при наличии первого:
Р(АВ) = Р(А)Р(В|А) или Р(АВ) = Р(В)Р(А|В). (2.1)
Эта теорема обобщается на любое конечное число событий следующим образом:
(2.2)
Определение 2.3. Два события называются независимыми, если появление любого из них не изменяет вероятности другого, т.е. события А и В независимы, если Р(А|В)=Р(А).
Из формул (2.1) следует, что если выполняется равенство Р(А|В)=Р(А),.то выполняется и равенство Р(В\А)=Р(В).
Определение 2.4. Несколько событий, А1, А2, ..., Ап, называются независимыми в совокупности (или просто независимыми), если появление любых из них не изменяет вероятностей остальных. Для независимых событий формула (2.2) принимает вид:
Р(А1 А2 ...Ап) = Р(А1)Р(А2...Р(Ап).
Пример 2.11. Из урны, содержащей 3 белых и 7 черных шаров, наудачу извлекают два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.
Решение. Считаем, что шары извлекаются поочередно. Пусть
А = {первый шар – белый}, В = {второй шар – белый}, тогда АВ – {оба шара – белые}.
По теореме умножения вероятностей Р(АВ)=Р(А)Р(В|А). Согласно классическому определению вероятности Р(А)=3/10, Р(В|А)=2/9. Следовательно, Р(АВ)= (3/10)(2/9).
Пример 2.12. Два стрелка стреляют по одной мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0.6, вторым – 0.8. Найти вероятность того, что в мишени будет две пробоины.
Решение. Введем в рассмотрение события, вероятности которых известны:
А = {поражение мишени первым стрелком},
В = {поражение мишени вторым стрелком}.
Интересующее нас событие выразим через эти события. Для того, чтобы имело место событие С={две пробоины в мишени}, надо, чтобы произошли вместе события А и В, т.е. С=АВ.
Естественно считать события А и В независимыми, поэтому
Р(С)=Р(А)Р(В)=0.60.8.