Вопросы для самоконтроля

1. Материальная точка движется по окружности радиуса под действием силы где – положительная постоянная, – единичный вектор, направленный к центру окружности. Работа этой силы за время, в течение которого точка совершит один оборот, равна:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Материальная точка массой под действием силы совершила перемещение и изменила скорость своего движения от до Работа силы равна:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Укажите правильные соотношения.

3. Консервативными называются силы:

а) работа которых изменяет полную механическую энергию системы материальных точек;

б) работа которых не зависит от пути, по которому материальные точки переходят из одного положения в другое;

в) работа которых не изменяет полную механическую энергию системы материальных точек;

г) работа которых на любом замкнутом пути равна нулю.

Укажите правильные утверждения.

4. Работа каких сил изменяет кинетическую энергию системы материальных точек:

а) только сил взаимодействия между материальными точками;

б) только внешних сил;

в) только консервативных сил;

г) только неконсервативных сил;

д) всех сил, действующих на данную систему.

5. Полная механическая энергия системы материальных точек не изменяется, если:

а) материальные точки не взаимодействуют между собой;

б) на систему не действуют внешние силы;

в) внешнее поле потенциально;

г) на систему не действуют неконсервативные силы.

Примеры решения задач

Пример 1. Брусок массы находится на горизонтальной поверхности с коэффициентом трения . В некоторый момент времени ему сообщили скорость . Найти: а) путь , пройденный бруском до остановки; б) среднюю мощность силы трения за время движения.

Р е ш е н и е. а) Как следует из уравнения (2), работа всех сил, действующих на тело, равна

.

На тело действуют три силы (см. рис.2). Работа силы реакции опоры

и силы тяжести равна нулю, т.к. направления этих сил и направление перемещения бруска взаимно перпендикулярны. Работа силы трения, в данной задаче, равна , поэтому

или

.

б) Средняя мощность равна отношению работы ко времени за которое эта работа совершена. Для нахождения времени движения тела до остановки воспользуемся законом изменения импульса

,

где – конечная скорость тела, равная нулю, или в проекции на горизонтальное направление

,

откуда

.

Таким образом, средняя мощность силы трения равна

.

Пример 2. Потенциальная энергия частицы в некотором поле имеет вид , и – положительные постоянные, – расстояние от центра поля. Найти: а) значение , соответствующее равновесному положению частицы; б) максимальное значение силы притяжения.

Р е ш е н и е . а) Из (5) следует, что сила, действующая на частицу в потенциальном поле, равна

. (7)

В положении равновесия, соответствующем значению , сила, действующая на частицу, равна нулю, поэтому

.

б) Пусть, при , сила имеет максимальное значение, тогда

.

Поставляя значение , найденное из этого выражения, в уравнение (7),

найдем максимальное значение силы притяжения

.

П ример 3. Гладкий резиновый шнур, длина которого и жесткость , подвешен одним концом к точке , как показано на рис. 3. На другом конце имеется упор. Из точки начинает падать небольшая муфта массы . Пренебрегая массами шнура и упора, найти максимальное растяжения шнура.

Р е ш е н и е. Поскольку по условию задачи массы шнура и упора пренебрежимо малы, можно считать, что нет потерь механической энергии, тогда

(8)

где и – начальная и конечная энергии системы. За начало отсчета потенциальной энергии выберем нижнее положение растянутого шнура. Начальная энергия системы определяется потенциальной энергией муфты во внешнем силовом поле и равна , а конечная – потенциальной энергией растянутого шнура . Подставляя эти значения в уравнение (8), получаем квадратное уравнение

,

решая которое, находим максимальное растяжение шнура

.

П ример 4. Система состоит из двух одинаковых кубиков, каждый массы , между которыми находится сжатая невесомая пружина жесткости (рис. 4). Кубики связаны нитью, которую в некоторый момент времени пережигают. При каких значениях – начальном сжатии пружины – нижний кубик подскочит после пережигания нити.

Р е ш е н и е. Размерами кубиков в процессе решения задачи будем пренебрегать, т.е. будем их считать материальными точками.

Система, представленная на рис. 4, не является замкнутой, однако ввиду отсутствия неконсервативных сил ее полная механическая энергия, после пережигания нити, не меняется, т.е.

,

где и – начальная и конечная энергии системы.

За начало отсчета потенциальной энергии во внешнем силовом поле выберем положение нижнего кубика, тогда начальная энергия системы равна

, (9)

где – длина сжатой пружины, – ее потенциальная энергия.

После пережигания нити пружина сначала перейдет в недеформированное состояние, а затем начнет растягиваться. Пусть начальное сжатие пружины таково, что при растяжении пружины на величину верхний кубик остановится, а сила реакции опоры, действующая на нижний кубик, станет равна нулю. То, что горизонтальная поверхность перестала действовать на кубик, означает, что он оторвался от нее.

Учитывая вышесказанное, для конечной энергии получим выражение

. (10)

В процессе движения системы на нижний кубик действуют три силы – сила тяжести , сила упругости и сила реакции опоры . Поскольку нижний кубик покоится, сумма этих сил равна нулю, т.е.

Так как в конечный момент времени , а сила упругости направлена вверх, из последнего выражения следует, что

Приравнивая (9) и (10) между собой и учитывая, что , получим

,

откуда находим минимальную величину сжатия пружины, при котором нижний кубик подскочит

Пример 5. Небольшое тело массы без начальной скорости соскальзывает с гладкой горки высотой и попадает на доску массы , лежащую у основания горки на гладкой горизонтальной плоскости (рис. 5). Вследствие трения между телом и доской шайба тормозится и, начиная с некоторого момента, движется вместе с доской как единое целое. Найти суммарную работу сил трения в этом процессе.

Р е ш е н и е. Сила трения между телом и доской – это внутренняя неконсервативная сила. Работу этой силы определим, воспользовавшись законом изменения механической энергии (6),

, (11)

где – скорость установившегося движения тела с доской. Найдем ее.

У основания гладкой горки тело приобретает скорость , которую можно найти из закона сохранения энергии

, .

Для нахождения установившейся скорости движения тела вместе с доской, запишем закон сохранения импульса в проекции на ось

,

откуда

Подставляя в (11), найдем работу силы трения в этом процессе

Пример 6. Частица массы , двигавшаяся со скоростью , испытала упругое лобовое столкновение с покоившейся частицей массы . Найти скорости частиц после соударения.

Р е ш е н и е. Пусть после удара частицы движутся в одном направлении со скоростями и . При упругом ударе кинетическая энергия системы сохраняется, а так как сумма внешних сил, действующих на нее, равна нулю, не меняется и импульс системы. Запишем закон сохранения энергии и в проекции на направление движения частиц – закон сохранения импульса

Перепишем эти уравнения в виде

(12)

Разделив первое уравнение на второе, получим

(13)

Решая совместно уравнения (12) и (13), найдем скорости частиц после удара

П ример 7. Шар испытал нецентральный удар с другим, покоившимся шаром той же массы. Доказать, что угол между направлениями разлета шаров: а) равен если соударение упругое; б) отличен от если соударение неупругое.

Р е ш е н и е. Пусть скорости шаров до удара и после удара такие как показано на рис. 6.

а) Так как массы шаров одинаковы, из закона сохранения механической энергии следует, что

(14)

Запишем закон сохранения импульса

.

Сложение векторов и показано на рис. 7, откуда видно

(15)

Сопоставляя (14) и (15), получаем

т.е угол между направлениями разлета шаров равен .

б) При неупругом ударе импульс системы не меняется, а часть кинетической энергии переходит в тепловую, т.е.

или

Сопоставляя это уравнение с (16), получаем

.

Таким образом, при неупругом ударе угол разлета меньше .