6. Закон сохранения механической энергии Работа и кинетическая энергия.

Работой силы на конечном перемещении называют величину, равную

, (1)

где ­­­– элементарное перемещение точки приложения силы.

Работа, совершаемая в единицу времени, называется мощностью. Если за время совершается работа , то мощность равна

.

Подставляя в (1) второй закон Ньютона для материальной точки и вектор ее перемещения , получаем

.

В этом выражении вектор означает элементарное приращение вектора , причем это приращение может и не совпадать по направлению с вектором . Если длина вектора скорости, то очевидно, что . Действительно, справа стоит скалярное произведение вектора на самого себя, а оно равно квадрату длины вектора, как это непосредственно следует из определения скалярного произведения. Учитывая вышесказанное, получаем

,

где – начальная, а – конечная скорости материальной точки.

Величина

называется кинетической энергией материальной точки. Таким образом, полученный результат запишется в виде

. (2)

Если на материальную точку действуют несколько сил, нетрудно показать, что работа результирующей силы на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой силой в отдельности на том же перемещении. Действительно,

.

Выражение (2) называют теоремой об изменении кинетической энергии материальной точки, которая формулируется следующим образом: работа всех сил, действующих на тело, равна приращению его кинетической энергии.

Теорему о кинетической энергии можно распространить на систему материальных точек. Написав уравнение (2) для каждой точки отдельно, а затем, сложив эти уравнения, мы опять получим уравнение (2). Однако теперь под работой надо понимать работу всех сил, действующих как внутри системы, так и сил, с которой другие тела, не включенные в систему тел, действуют на данную систему, а под – кинетическую энергию системы, равную алгебраической сумме кинетических энергий каждой частицы в отдельности.

Потенциальная энергия. Консервативные силы

Силовым полем называют область пространства, в каждой точке которого на помещенную туда частицу действует сила. Так как сила – векторная величина, то это поле векторное. Если сила, действующая на частицу, не зависит от времени, то поле называется стационарным.

Если работа, совершаемая силами некоторого силового поля при перемещении материальной точки из одного положения в другое, не зависит от траектории движения этой точки, то такие силы называются потенциальными или консервативными. Для таких сил можно ввести понятие потенциальной энергии Величину потенциальной энергии можно определить как работу, необходимую для перемещения частицы из данного положения в некоторое другое положение, которое условно можно принять за нулевое, т.е.

. (3)

Если в силовом поле находится система материальных точек, то ее положение задается координатами и каждой точки, или как говорят, данная система имеет определенную конфигурацию. При переходе системы из одного положения в другое конфигурация системы, вообще говоря, может меняться. В этом случае формула (3) определяет потенциальную энергию этой системы как работу по ее переходу из одного положения в другое, конфигурацию которого можно принять за нулевую. При этом в величину работы следует включить и работу сил взаимодействия между точками системы, если эти силы консервативны. Потенциальной энергии системы в нулевом положении не обязательно присваивать значение равное нулю, ей можно задать любое значение, например, тогда

.

Таким образом, потенциальная энергия системы определена не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной. Этот произвол не может отразиться на физических выводах, так как ход физических явлений зависит не от абсолютного значения потенциальной энергии а от ее разности

Пусть система перешла из состояния 1 в состояние 2 по пути 102 (рис. 1), тогда работа рассматриваемых сил равна

(4)

Следовательно, работа консервативных сил по переходу системы материальных точек из начального положения в конечное равна убыли потенциальной энергии. Из последнего выражения следует, что работа консервативных сил по любому замкнутому пути равна нулю. Примерами консервативных сил могут служить – сила тяжести, сила гравитационного взаимодействия, сила упругости и т.д.

В дифференциальной форме формула (4) запишется в виде

(5)

Это соотношение позволяет установить связь силы и потенциальной энергии в соответствующем силовом поле

.

Все силы, не являющиеся консервативными, называются неконсервативными. Примерами неконсервативных сил могут служить – силы вязкого трения, силы трения скольжения и т.д. Если в системе материальных точек помимо консервативных сил действуют и неконсервативные силы, теорема об изменении кинетической энергии (2) с учетом (5) принимает вид

,

или

, (6)

где – полная механическая энергия системы. Из этого уравнения следует, что приращение полной механической энергии системы равно работе неконсервативных сил.

В системе с одними только консервативными силами ( ) полная механическая энергия остается неизменной. Могут происходить лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно, но полый запас энергии системы не меняется. Это положение называется законом сохранения энергии в механике.

Надо отметить, что в различных учебных пособиях даются различные формулировки закона сохранения энергии. При знакомстве с ними надо обращать внимание на то, что понимается под полной механической энергией системы. Например, в учебнике И.В. Савельева “Курс общей физики” (Механика) можно прочитать три формулировки закона сохранения энергии: полная механическая энергия системы невзаимодействующих частиц, на которые действуют только консервативные силы, остается постоянной. В данном случае под полной механической энергией понимается сумма кинетической энергии и потенциальной энергии во внешнем силовом поле. Вторая формулировка звучит следующим образом: полная механическая энергия системы тел, на которые действуют лишь консервативные силы, остается постоянной. В этом случае под полной механической энергией понимается сумма кинетической энергии, потенциальной энергии во внешнем силовом поле и потенциальной энергии взаимодействия частиц. Третья формулировка: полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной. В данном случае под полной механической энергией понимается сумма кинетической энергии и потенциальной энергией взаимодействия частиц.