7. Закон сохранения момента импульса Момент силы и момент импульса относительно неподвижной точки

Важные законы механики связаны с понятиями момента силы и момента импульса. Пусть на материальную точку , положение которой относительно неподвижной точкиопределяется радиус-вектором(рис. 1), действует силаМоментом силы относительно точкиназывают векторравный векторному произведению векторови

. (1)

Модуль вектора равен

где – угол между векторамии–плечо силы относительно точки (плечо силы – это кратчайшее расстояние между точкойи линией действия силы). Отсюда непосредственно следует, что момент силы не изменится, если точку приложения силы перенести в любую другую точку, расположенную на линии действия силы, например, в точку, положение которой определяется радиус-вектором(см. рис. 1).

Аналогично определяется момент импульса относительно точки

, (2)

где – импульс материальной точки. Продифференцируем по времени последнее выражение

. (3)

Импульс материальной точкиколлинеарен с ее скоростью, поэтому первое векторное произведение в уравнении (3) равно нулю. Учитывая, что, уравнение (3) принимает вид

(4)

Это уравнение называется уравнением моментов для одной материальной точки.

Рассмотрим систему материальных точек. Запишем уравнение (4) для каждой материальной точки, понимая теперь под момент как внешних, так и внутренних сил, действующих на рассматриваемую точку. Затем сложим все эти уравнения

,

где – момент всех внешних сил, действующих на систему, а– момент всех внутренних сил. Внутренние силы входят в систему попарно: сила, с которой-я точка действует на-ю, равна силе, с которой-я точка действует на-ю. Эти силы направлены в противоположные стороны и действуют вдоль одной и той же прямой. Суммарный момент таких двух сил, а значит и суммарный момент всех внутренних сил равен нулю. В результате получаемуравнение моментов для системы материальных точек

, (5)

т.е. производная момента импульса системы по времени равна суммарному моменту всех внешних сил.

Если момент внешних сил относительно неподвижной точки равен нулю, то момент импульса системы относительно той же точки остается постоянным во времени. Это положение называется законом сохранения момента импульса относительно неподвижной точки .

Уравнение моментов относительно неподвижной оси

Под уравнением моментов относительно неподвижной оси понимают проекцию уравнения моментов (5) относительно неподвижной точки на ось , проходящую через эту точку

, (6)

где – алгебраическая сумма проекций моментов импульса каждой материальной точки на ось– алгебраическая сумма проекций на осьмоментов внешних сил, действующих на данную систему материальных точек.

Для того чтобы понять смысл величин, входящих в уравнение (6), рассмотрим сначала одну материальную точку, на которую действует силаПредставим радиус-векторопределяющий положение точкиотносительно точки в виде суммы двух векторов (рис. 2)

(7)

где – вектор, параллельный оси, а­– вектор, перпендикулярный оси

Силу также представим в виде суммы двух векторов

(8)

где – направлена вдоль осиа–лежит в плоскости, перпендикулярной оси Подставляя (7) и (8) в уравнение (1) и делая несложные преобразования, получим

. (9)

Первое векторное произведение равно нулю, т.к. и коллинеарныевектора. Векторы, представляющие второе и третье векторные произведения, перпендикулярны оси поэтому проекции этих векторов на эту ось равны нулю. Таким образом, составляющая векторапараллельная осиравна

.

Только эта составляющая и играет роль при нахождении момента силы на ось . Модуль этого вектора равен

где – плечо силыотносительно оси(плечо силы относительно оси – это кратчайшее расстояние от линии действия силыдо оси).

Проводя аналогичные рассуждения для момента импульса , получим

где – проекция импульса материальной точкина плоскость, перпендикулярную оси.

Распространяя этот результат на систему материальных точек, получим

Напомним, что – это момент внешних сил, действующих на систему.