8. Динамика твердого тела

В механике под твердым телом понимают систему материальных точек, расстояние между любыми двумя точками которого в процессе движения остается неизменным. Поэтому все результаты, полученные в предыдущих темах (“Динамика материальной точки”, “Закон сохранения импульса”, “Закон сохранения энергии” и “Закон сохранения момента импульса”) для системы материальных точек, применимы и к твердому телу.

Момент инерции твердого тела

Момент инерции – это величина, зависящая от распределения масс в теле и являющаяся, наряду с массой, мерой инертности тела при непоступательном движении. При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси момент инерции тела относительно этой оси определяется выражением

,

где- элементарные массы тела;- их расстояния от оси вращения.

Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением. Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции сводится к вычислению интеграла

, (1)

где – масса элемента тела, находящегося на расстоянииот интересующей нас оси. Интегрирование должно производиться по всему объему тела.

Аналитическое вычисление таких интегралов возможно только в простейших случаях тел правильной геометрической формы.

Если известен момент инерции тела относительно какой-либо оси, можно найти момент инерции относительно любой другой оси, параллельной данной. Используя теорему Штейнера, согласно которой момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс телаи параллельной данной оси, и произведения массы телат на квадрат расстояния между осями :

(2)

Вычисление момента инерции тела относительно оси часто можно упростить, вычислив предварительномомент инерции относительно точки. Сам по себе момент инерции тела относительно точки не играет никакой роли в динамике. Он является чисто вспомогательным понятием, служащим для упрощения вычислений.

Рассмотрим некоторую точку твердого тела массой и с координатамиотносительно прямоугольной системы координат (рис. 1). Квадраты расстояний ее до координатных осейравны соответственно а моменты инерции относительно тех же осей

(3)

Сложив эти равенства и просуммировав по всему объему тела

(4)

получим

(5)

где – момент инерции телаотносительно точки.

Из этого выражения можно получить связь между моментами инерции плоского тела, относительно осей . Пусть масса плоского тела сосредоточена в плоскостит.е. координаталюбой точки такого тел равна нулю, тогда из

уравнений (3) и (4) следует, что

или

(6)

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Рассмотрим твердое тело массой , вращающееся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью. Для того чтобы получить уравнение, описывающее это движение, применим уравнение моментов относительно оси, полученное в разделе “ Закон сохранения момента импульса”

, (7)

напомним, что в этом уравнении и– момент импульса и момент силы относительно оси, вокруг которой вращается твердое тело.

Момент импульса некоторой точки тела массой вращающейся по окружности радиусасо скоростью, равен

Просуммировав по всему объему тела, учитывая, что получим

Таким образом, момент импульса твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на его угловую скорость.

Подставляя полученное выражение в (7), получим уравнение динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси,

или (8)

где – угловое ускорение тела.

Найдем кинетическую энергию вращающегося тела. Для этого просуммируем по всему объему тела кинетические энергии отдельных его частей

или

(9)

Зная зависимость момента сил, действующих на тело, от угла поворота, можно найти работу этих сил при повороте тела на конечный угол

.