3. Законы сохранения в механике

3.1. Может, при условии, что .

3.2. Могут, если до взаимодействия .

3.4. - равнодействующая внешних сил, если система частиц - твердое тело.

3.5. , где - проекция результирующего вектора перемещения на направление действия силы.

3.6. , так как .

A

Рис. 6.2

3.7. В потенциальном силовом поле работа по произвольному замкнутому пути равна нулю. Действительно, если на замкнутой траектории выбрать две произвольные точки 1 и 2 (рис. 6.2.), то . С другой стороны, так как поле потенциально, то , а . Поэтому . В непотенциальном силовом поле работа по замкнутому пути может быть равна нулю, если в любой точке этого силового поля (пример: магнитное поле).

3.8. Силовое поле, изображенное на рис. 3.6, непотенциально, так как . Действительно, для контура 12341 имеем . Здесь учтено, что (рис. 6.3)

3

2

4

1

Рис. 6.3

, так как и . Кроме того, для указанного поля , поэтому . С учетом , имеем .

3.9. Может, если и .

Рис. 6.4

3.10. Для того, чтобы тело было спутником некоторой планеты, оно должно совершать финитное движение. Так как потенциальная энергия тела в гравитационном поле планеты определяется соотношением (3.28), то из рис. 6.4 непосредственно видно, что полная механическая энергия должна быть в этом случае отрицательной.

3.12. В этом случае алгебраическая сумма проекций моментов сил на данное направление должна равняться нулю.

Рис. 6.5

3.13. Пусть , относительно некоторой точки . Тогда относительно любой другой точки (рис. 6.5)

0



m



Рис. 6.6

3.14.

Обозначения ясны из рис. 6.6. В ответе учтено, что

4. Элементы динамики вращательного движения твердого тела

4.1. Можно. В этом случае ось вращения является мгновенной осью, а векторы и определяют угловое ускорение и момент сил относительно этой мгновенной оси.

4.2. Угловое ускорение уменьшается в этом случае обратно пропорционально радиусу окружности. На результат большее влияние оказывает увеличение момента инерции точки , чем увеличение величины момента касательной силы .

4.4. При вращении твердого тела относительно оси, проходящей через неподвижный центр масс.

4.5.

Здесь учтено, что плоское движение твердого тела представимо в виде совокупности поступательного и вращательного движений, а также (1.44) и (3.5). - скорость поступательного движения тела (некоторой его точки ); - угловая скорость вращения относительно оси, проходящей через точку ; - момент инерции тела относительно этой оси; - радиус-вектор центра масс относительно точки .

4.6. Произведя циклическую перестановку сомножителей в смешанном произведении, получим:

так как сумма моментов внутренних сил равна нулю (см. п. 3.9).

4.7. Смотри предыдущий ответ.

(последнее равенство справедливо в случае неподвижной оси вращения).

4.8. Да. , где - результирующий момент силы относительно некоторой неподвижной в данный момент времени точки , а - элементарный угол поворота относительно мгновенной оси, проходящей через точку .

4.9. Так как стержень вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через точку , то его полная энергия в произвольном положении (рис. 4.6) определяется выражением

где

Эта энергия остается постоянной, так как поле силы тяжести потенциально, а момент силы относительно оси вращения равен нулю, поэтому работы не совершает. Итак,

Учтя, что , получим для выражение

4.10. а) - направлен горизонтально, если . Из (4.38) имеем  и .

б) - направлен вертикально, если . Из (4.37) имеем . Откуда

в) - направлен вдоль стержня, если или . В обоих случаях , поэтому с учетом (4.37) и (4.38) имеем

что выполняется только при двух положениях стержня:

и