- •Часть I
- •Кинематика
- •1.1. Основные вопросы механики
- •1.2. Основные физические модели и понятия механики
- •1.3. Кинематика материальной точки
- •1.3.1. Система отсчета
- •1.3.2. Радиус-вектор, вектор перемещения
- •1.3.6. Взаимосвязь между линейными и угловыми кинематическими величинами
- •1.4. Кинематическое уравнение движения. Прямая и обратная задачи кинематики
- •Кинематика твердого тела
- •2. Динамика материальной точки
- •2.1. Ньютоновская динамика и границы ее применимости
- •2.2. Законы Ньютона
- •2.3. Силы
- •2.3.1. Гравитационное взаимодействие
- •2.3.2. Электромагнитное взаимодействие
- •2.4. Движение материальной точки в однородном силовом поле
- •Законы сохранения в механике
- •3.1. Интегралы движения и законы сохранения
- •3.2.Закон сохранения импульса и его векторный характер
- •3.3. Механическая работа
- •3.4. Кинетическая энергия
- •3.5. Потенциальная энергия и ее связь с силой
- •Поле сил тяготения и кулоновское силовое поле
- •3.6.3. Поле силы тяжести
- •3.6.4. Поле упругих сил
- •3.7. Закон сохранения механической энергии
- •3.8. Примеры применения законов сохранения механической энергии и импульса
- •Движение частицы в потенциальном силовом поле
- •3.8.2. Абсолютно упругий удар двух материальных точек
- •3.8.3. Роль закона сохранения механической энергии при решении конкретных задач
- •Закон сохранения момента импульса
- •3.10. Момент силы. Момент импульса
- •Элементы динамики вращательного движения твердого тела
- •Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
- •4.2. Момент инерции
- •4.3. Примеры вычисления моментов инерции однородных симметричных тел
- •4.4. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела
- •Механическая работа при вращательном движении твердого тела
- •4.6. Сравнение описаний движения материальной точки и вращения твердого тела
- •Применение основных законов динамики твердого тела при решении конкретных задач
- •5. Основы специальной теории относительности (сто)
- •5.1. Преобразования Галилея. Принцип относительности Галилея
- •Любая система отсчета , движущаяся относительно некоторой инерциальной системы отсчета равномерно и прямолинейно, также является инерциальной.
- •5.2. Опыт Майкельсона. Постулаты теории относительности
- •Принцип постоянства (инвариантности) скорости света
- •5.3. Преобразования Лоренца
- •5.4. Следствия из преобразований Лоренца
- •5.4.1. Лоренцовское сокращение длины
- •5.4.2. Относительность промежутков времени
- •5.4.3. Относительность одновременности
- •5.5. Релятивистский закон сложения скоростей
- •5.6. Релятивистские импульс и масса частицы
- •5.7. Релятивистская энергия
- •1. Релятивистская кинетическая энергия частицы определяется приращением ее полной энергии (5.23), (5.26).
- •2. Полная энергия системы и ее масса связаны универсальной формулой а. Эйнштейна (5.28).
- •5.8. Связь релятивистской энергии и импульса частицы
- •6. Ответы на контрольные вопросы
- •Кинематика
- •Динамика материальной точки
- •Законы сохранения в механике
- •Элементы динамики вращательного движения твердого тела
- •Основы специальной теории относительности
- •Оглавление
- •Уколов Александр Сергеевич
- •Часть 1
5.7. Релятивистская энергия
Рассмотрим ситуацию, когда на частицу действует некоторая сила , которая, очевидно, совершает над частицей при ее перемещении на работу
,
что приводит к эквивалентному приращению кинетической энергии частицы
.
Элементарную работу определим, используя (5.22):
.
Учтя, что , получим для приращения кинетической энергии
Преобразуем правую часть последнего равенства:
Для этого выполним дифференцирование дроби в правой части и учтем, что , после чего получим:
.
Интегрирование последнего равенства дает релятивистское выражение для кинетической энергии частицы
(5.23)
которое существенно отличается от классического. Однако, как и должно быть, в предельном случае соотношение (5.23) переходит в известное Действительно, разлагая в (5.23) дробь в ряд по малым степеням отношения и пренебрегая слагаемыми более высоких степеней, чем , получим
Нетрудно заметить, что в (5.23) определяющей является величина
(5.24)
которая называется полной релятивистской энергией частицы, а
(5.25)
- ее энергией покоя.
Выражению (5.23) с учетом (5.24) и (5.25) теперь можно придать другой вид:
. (5.26)
Здесь следует отметить очень важный факт, что приращение полной энергии частицы в виде
имеет более глубокий смысл, чем просто величина, определяющая кинетическую энергию релятивистской частицы. А. Эйнштейн обобщил это соотношение, предположив, что любое изменение массы материального объекта приводит к соответствующему изменению полной энергии этого объекта и наоборот:
. (5.27)
В этом смысле говорят об эквивалентности энергии и массы:
(5.28)
Формулы А. Эйнштейна (5.27) и (5.28) в равной степени выражают один из фундаментальных законов природы: закон взаимосвязи (эквивалентности) энергии и массы любой системы.
Отметим, что выражения (5.27) и (5.28) не учитывают потенциальную энергию системы, как целого, во внешних силовых полях.
Выводы:
1. Релятивистская кинетическая энергия частицы определяется приращением ее полной энергии (5.23), (5.26).
2. Полная энергия системы и ее масса связаны универсальной формулой а. Эйнштейна (5.28).
Контрольные вопросы.
Определите величину относительного возрастания массы воды при ее нагревании от до . Удельная теплоемкость воды Дж/кгК.
Оцените величину относительного возрастания массы метеорита при его падении из бесконечности на поверхность Земли.
Определите величину относительного возрастания массы при распаде ядра дейтерия на протон и нейтрон. Энергия связи ядра дейтерия а его масса покоя .
5.8. Связь релятивистской энергии и импульса частицы
Искомое соотношение не трудно получить, рассмотрев выражения для релятивистской энергии
и импульса частицы
Разделив второе равенство для на первое, получим искомое выражение в векторной форме
(5.30)
Если же из этих формул отключить скорость частицы (для этого формулу для нужно записать в скалярной форме), то после несложных преобразований будем иметь
(5.31)
Отметим, что формулы связи энергии и импульса частицы (5.30) и (5.31) равнозначны, так как получены из одних и тех же соотношений для и .
Из формул (5.30) и (5.31) еще раз вытекает тот факт, что двигаться со скоростью, равной скорости света в вакууме , могут только те частицы, у которых масса покоя тождественно равна нулю. Действительно, если , то из (5.30) имеем . То же самое соотношение может быть получено из (5.31) при .
Для любознательных читателей отметим здесь, что связь между полной энергией и импульсом частицы в форме (5.31) является инвариантом по отношению к преобразованиям энергии и импульса при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Контрольные вопросы.
Покажите, что в нерелятивистском случае формула (5.31) переходит в
отличающуюся от классического выражения для кинетической энергии слагаемым .