- •Часть I
- •Кинематика
- •1.1. Основные вопросы механики
- •1.2. Основные физические модели и понятия механики
- •1.3. Кинематика материальной точки
- •1.3.1. Система отсчета
- •1.3.2. Радиус-вектор, вектор перемещения
- •1.3.6. Взаимосвязь между линейными и угловыми кинематическими величинами
- •1.4. Кинематическое уравнение движения. Прямая и обратная задачи кинематики
- •Кинематика твердого тела
- •2. Динамика материальной точки
- •2.1. Ньютоновская динамика и границы ее применимости
- •2.2. Законы Ньютона
- •2.3. Силы
- •2.3.1. Гравитационное взаимодействие
- •2.3.2. Электромагнитное взаимодействие
- •2.4. Движение материальной точки в однородном силовом поле
- •Законы сохранения в механике
- •3.1. Интегралы движения и законы сохранения
- •3.2.Закон сохранения импульса и его векторный характер
- •3.3. Механическая работа
- •3.4. Кинетическая энергия
- •3.5. Потенциальная энергия и ее связь с силой
- •Поле сил тяготения и кулоновское силовое поле
- •3.6.3. Поле силы тяжести
- •3.6.4. Поле упругих сил
- •3.7. Закон сохранения механической энергии
- •3.8. Примеры применения законов сохранения механической энергии и импульса
- •Движение частицы в потенциальном силовом поле
- •3.8.2. Абсолютно упругий удар двух материальных точек
- •3.8.3. Роль закона сохранения механической энергии при решении конкретных задач
- •Закон сохранения момента импульса
- •3.10. Момент силы. Момент импульса
- •Элементы динамики вращательного движения твердого тела
- •Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
- •4.2. Момент инерции
- •4.3. Примеры вычисления моментов инерции однородных симметричных тел
- •4.4. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела
- •Механическая работа при вращательном движении твердого тела
- •4.6. Сравнение описаний движения материальной точки и вращения твердого тела
- •Применение основных законов динамики твердого тела при решении конкретных задач
- •5. Основы специальной теории относительности (сто)
- •5.1. Преобразования Галилея. Принцип относительности Галилея
- •Любая система отсчета , движущаяся относительно некоторой инерциальной системы отсчета равномерно и прямолинейно, также является инерциальной.
- •5.2. Опыт Майкельсона. Постулаты теории относительности
- •Принцип постоянства (инвариантности) скорости света
- •5.3. Преобразования Лоренца
- •5.4. Следствия из преобразований Лоренца
- •5.4.1. Лоренцовское сокращение длины
- •5.4.2. Относительность промежутков времени
- •5.4.3. Относительность одновременности
- •5.5. Релятивистский закон сложения скоростей
- •5.6. Релятивистские импульс и масса частицы
- •5.7. Релятивистская энергия
- •1. Релятивистская кинетическая энергия частицы определяется приращением ее полной энергии (5.23), (5.26).
- •2. Полная энергия системы и ее масса связаны универсальной формулой а. Эйнштейна (5.28).
- •5.8. Связь релятивистской энергии и импульса частицы
- •6. Ответы на контрольные вопросы
- •Кинематика
- •Динамика материальной точки
- •Законы сохранения в механике
- •Элементы динамики вращательного движения твердого тела
- •Основы специальной теории относительности
- •Оглавление
- •Уколов Александр Сергеевич
- •Часть 1
4.3. Примеры вычисления моментов инерции однородных симметричных тел
В этом пункте приведем примеры вычисления моментов инерции относительно оси, проходящей через центр масс, для некоторых однородных тел правильной геометрической формы, а также некоторые результаты, часто встречающиеся при решении конкретных задач.
а) Рассчитаем момент инерции однородного сплошного цилиндра относительно его оси симметрии 00 (рис. 4.4), который имеет массу m, радиус R и высоту h.
Разобьем цилиндр на соосные с ним цилиндрические слои радиуса r и бесконечно малой толщины dr. Масса такого слоя dm легко вычисляется:
где - плотность материала цилиндра.
r
0
dm
0
R
dr
h
Рис. 4.4
.
dm
0
dr
r
0
Рис.4.5
Последнему соотношению можно придать другой вид, учитывая, что равенство определяет массу m всего цилиндра:
. (4.12)
б) В качестве другого примера рассмотрим применение (4.9) для расчета момента инерции тонкого длинного однородного стержня, имеющего сечение S произвольной формы, относительно оси, проходящей через один из его концов перпендикулярно самому стержню (рис. 4.5).
Тонким можно считать стержень, для которого выполняется условие , где определяет величину наибольшего поперечного размера стержня. Разобьем стержень на элементарные участки . Подставив это равенство в (4.9) и проведя интегрирование, получим
или с учетом, что , окончательно имеем
(4.13)
Ниже приведем соотношения, определяющие моменты инерции некоторых однородных симметричных тел:
- момент инерции материальной точки относительно произвольной оси:
; (4.14)
- момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно стержню
, (4.15)
где - длина стержня;
- момент инерции тонкостенного цилиндра относительно его геометрической оси:
; (4.16)
- момент инерции толстостенного цилиндра относительно его геометрической оси (R1 и R2 - радиусы внутренней и внешней поверхностей цилиндра):
(4.17)
Отметим здесь, что результаты (4.12) и (4.16) являются частными по отношению к (4.17). Формула (4.12) получается из (4.17) при R1=0 и R2=R. Формула (4.16) получается из (4.17) при R1=R2=R;
- момент инерции сплошного шара относительно любой оси, проходящей через его центр
(4.18)
В заключение этого пункта можно сделать вывод, что по крайней мере, для однородных симметричных тел моменты инерции относительно геометрической оси можно представить в виде
, (4.19)
где коэффициент пропорциональности k учитывает характер распределения массы тела относительно оси симметрии, причем значения k заключены в пределах
(4.20)
Отметим, что приведенный выше вывод справедлив, вообще говоря, для моментов инерции относительно оси, проходящей через центр инерции произвольного тела. В этом случае величина R в (4.19) представляет собой некоторый характерный, поперечный оси, размер тела. Доказательство этого факта выходит за рамки данного пособия.
Контрольные вопросы.
4.3. Докажите справедливость соотношений (4.15), (4.17) и (4.18).