- •Часть I
- •Кинематика
- •1.1. Основные вопросы механики
- •1.2. Основные физические модели и понятия механики
- •1.3. Кинематика материальной точки
- •1.3.1. Система отсчета
- •1.3.2. Радиус-вектор, вектор перемещения
- •1.3.6. Взаимосвязь между линейными и угловыми кинематическими величинами
- •1.4. Кинематическое уравнение движения. Прямая и обратная задачи кинематики
- •Кинематика твердого тела
- •2. Динамика материальной точки
- •2.1. Ньютоновская динамика и границы ее применимости
- •2.2. Законы Ньютона
- •2.3. Силы
- •2.3.1. Гравитационное взаимодействие
- •2.3.2. Электромагнитное взаимодействие
- •2.4. Движение материальной точки в однородном силовом поле
- •Законы сохранения в механике
- •3.1. Интегралы движения и законы сохранения
- •3.2.Закон сохранения импульса и его векторный характер
- •3.3. Механическая работа
- •3.4. Кинетическая энергия
- •3.5. Потенциальная энергия и ее связь с силой
- •Поле сил тяготения и кулоновское силовое поле
- •3.6.3. Поле силы тяжести
- •3.6.4. Поле упругих сил
- •3.7. Закон сохранения механической энергии
- •3.8. Примеры применения законов сохранения механической энергии и импульса
- •Движение частицы в потенциальном силовом поле
- •3.8.2. Абсолютно упругий удар двух материальных точек
- •3.8.3. Роль закона сохранения механической энергии при решении конкретных задач
- •Закон сохранения момента импульса
- •3.10. Момент силы. Момент импульса
- •Элементы динамики вращательного движения твердого тела
- •Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
- •4.2. Момент инерции
- •4.3. Примеры вычисления моментов инерции однородных симметричных тел
- •4.4. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела
- •Механическая работа при вращательном движении твердого тела
- •4.6. Сравнение описаний движения материальной точки и вращения твердого тела
- •Применение основных законов динамики твердого тела при решении конкретных задач
- •5. Основы специальной теории относительности (сто)
- •5.1. Преобразования Галилея. Принцип относительности Галилея
- •Любая система отсчета , движущаяся относительно некоторой инерциальной системы отсчета равномерно и прямолинейно, также является инерциальной.
- •5.2. Опыт Майкельсона. Постулаты теории относительности
- •Принцип постоянства (инвариантности) скорости света
- •5.3. Преобразования Лоренца
- •5.4. Следствия из преобразований Лоренца
- •5.4.1. Лоренцовское сокращение длины
- •5.4.2. Относительность промежутков времени
- •5.4.3. Относительность одновременности
- •5.5. Релятивистский закон сложения скоростей
- •5.6. Релятивистские импульс и масса частицы
- •5.7. Релятивистская энергия
- •1. Релятивистская кинетическая энергия частицы определяется приращением ее полной энергии (5.23), (5.26).
- •2. Полная энергия системы и ее масса связаны универсальной формулой а. Эйнштейна (5.28).
- •5.8. Связь релятивистской энергии и импульса частицы
- •6. Ответы на контрольные вопросы
- •Кинематика
- •Динамика материальной точки
- •Законы сохранения в механике
- •Элементы динамики вращательного движения твердого тела
- •Основы специальной теории относительности
- •Оглавление
- •Уколов Александр Сергеевич
- •Часть 1
4.2. Момент инерции
В этом пункте обсудим физический смысл и некоторые свойства введенной в предыдущем пункте 4.1 величины - момента инерции твердого тела относительно данной оси.
Уже в самом названии величины скрывается ее смысл, который легко понять, рассмотрев основное уравнение (4.7). Действительно, поскольку это уравнение имеет такой же формальный вид, что и второй закон Ньютона, то момент инерции твердого тела относительно данной оси можно трактовать как количественную меру инертности тела относительно этой оси.
Здесь следует отметить, что некоторые студенты ошибочно считают момент инерции мерой инертности тела при вращательном движении твердого тела относительно данной оси. В действительности же, момент инерции тела относительно данной оси существует независимо от того, вращается ли данное тело или нет. При вращательном движении твердого тела мы наблюдаем одно из частных, конкретных проявлений этого свойства инертности, так же как, например, масса тела, существуя независимо от характера движения тела, играет роль инертности тела при его поступательном движении.
0
dV
R
0
Рис. 4.2
Твердое тело “разбивают” на элементарно малые (рис. 4.2) участки объемом dV, такие, что их можно считать материальными точками. Распределение вещества внутри объема тела можно характеризовать величиной
, (4.8)
которая называется плотностью в малой окрестности dV данной точки тела.
Выразив элементарную массу dm с помощью (4.8) , определение (4.4) запишем в виде
, (4.9)
где суммирование по всем материальным точкам заменено интегрированием по объему твердого тела. В соотношении (4.9) величина определяет расстояние от элементарного объема dV до оси, относительно которой вычисляется момент инерции тела. В общем случае величины и R являются функциями положения элементарного объема (например, декартовых координат x, y, z). Для однородного тела и поэтому вычисление момента инерции тела упрощается:
. (4.10)
Из соотношений (4.4), (4.9) и (4.10) видно, что величина момента инерции тела относительно данной оси существенным образом зависит не столько от общей массы тела, сколько от того, как эта масса распределена относительно данной оси.
Во многих случаях вычисление момента инерции тела относительно произвольной оси еще более упрощается, если использовать теорему Штейнера:
Момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела J0 относительно оси, проходящей через центр инерции тела параллельно данной, и произведения массы тела m на квадрат расстояния между этими осями:
. (4.11)
Докажем справедливость этого утверждения.
dm
0
A
Рис. 4.3
Легко видеть, что радиус-вектор , определяющий положение элементарной массы dm относительно произвольной оси А, как следует из рис. 4.3, имеет очевидный вид:
Вычислим квадрат модуля этого вектора, входящий в подынтегральное выражение в (4.9):
Подставим это соотношение в (4.9) и представим интеграл в виде суммы трех интегралов:
Постоянные величины вынесены за знак интеграла. В последнем соотношении интеграл в скобках во втором слагаемом равен 0. Этот результат непосредственно следует из определения центра инерции (3.5), записанного для сплошного тела в интегральной форме:
.
В данном случае , так как ось 0 проходит именно через центр инерции тела. С учетом этих соображений выражение для примет вид
В соответствии с (4.9) первый интеграл определяет момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр инерции, то есть . Второе же слагаемое, в силу очевидного равенства , где m - масса всего тела, примет вид
.
Окончательно для J имеем
.
Теорема Штейнера доказана.
Выводы: Момент инерции тела относительно данной оси является количественной мерой инертности этого тела относительно этой оси. Величина момента инерции зависит как от массы тела, так и от характера распределения этой массы относительно оси.
Контрольные вопросы.
4.2. Как изменится угловое ускорение материальной точки, вращающейся по окружности под действием постоянной по величине касательной силы, если, не меняя эту силу, увеличить радиус окружности? Какой фактор оказывает большее влияние на результат: увеличение момента касательной силы или увеличение момента инерции материальной точки?