3. Законы сохранения в механике

3.1. Интегралы движения и законы сохранения

Часто встречаются ситуации, когда описание движения с помощью уравнений движения Ньютона является настолько сложным, что их точное решение либо очень громоздко, либо его вообще невозможно представить с помощью известных функций. В этих случаях анализ характера и свойств движения крайне затруднителен.

Однако существуют физические величины, характеризующие механическое состояние рассматриваемой системы, которые в процессе движения остаются постоянными (сохраняются). Такие величины, зависящие от параметров механического состояния системы, то есть от координат и времени, называются интегралами движения. Поэтому интегралы движения являются функциями состояния системы.

Особую роль в механике играют те интегралы движения, которые обладают свойством аддитивности. Аддитивной называется физическая величина, характеризующая систему как целое и равная сумме такого же рода величин, характеризующих отдельные части этой системы. Таких интегралов три. Число аддитивных интегралов движения непосредственно связано с фундаментальными свойствами пространства и времени, в которых происходят механические формы движения. Эти свойства таковы:

- Однородность пространства означает, что свойства пространства во всех его точках одинаковы. То есть выбор начала системы отсчета не влияет на протекание и характер механических явлений. Этим свойством пространства обусловлено существование интеграла, который называется импульсом механической системы. Условие сохраняемости импульса системы в механике называется законом сохранения импульса.

- Изотропность пространства означает, что все направления в пространстве эквивалентны, то есть ориентация осей координат не влияет на механические процессы. Величина, постоянство которой обусловлено этим свойством пространства, называется моментом импульса механической системы, а соответствующий закон, устанавливающий условия сохраняемости этой величины, называется законом сохранения момента импульса.

- Однородность времени означает, что все моменты времени физически равнозначны. Другими словами, протекание механических явлений не зависит от выбора начального момента времени.

С однородностью времени связано существование третьего аддитивного интеграла - энергии системы. Условия, определяющие постоянство энергии в механике, называются законом сохранения механической энергии.

Знание аддитивных интегралов позволяет получить важную информацию о характере механического движения без решения уравнений движения даже в тех случаях, когда силы, действующие на механическую систему, неизвестны.

Целью последующего изложения является поиск аддитивных интегралов движения и анализ важнейших следствий, вытекающих из их существования.

Выводы: Поведение механической системы удобно анализировать с помощью аддитивных интегралов движения: импульса, момента импульса и энергии системы. Законы сохранения этих величин обусловлены фундаментальными свойствами пространства (однородность и изотропность) и времени (однородность).