4.1.3.2. Отражение

В то время, как полный поворот на плоскости ху обычно осуществляется в двумерном пространстве относительно нормали к плоскости, отражение представляет собой тот же поворот на угол 180º в трехмерном пространстве и обратно на плоскость относительно оси, лежащей на плоскости ху. На рис. 4.6 приведены примеры двух отражений на плоскости треугольника DEF. Отражение относительно прямой у = 0 (ось х) получено с использованием матрицы

(4.39)

В этом случае новые вершины треугольника D^*E^*F^* будут определяться преобразованием

Подобным образом отражение относительно оси у при х = 0 будет иметь вид

(4.40)

Рис. 4.6

Отражение относительно прямой у = х осуществляется с помощью матрицы

. (4.41)

Выполнив преобразования, получим координаты вершин треугольника D^*E^*F^*

.

Аналогичным образом отражение относительно оси х будет иметь вид

. (4.42)

У каждой из этих матриц определитель равен –1. В общем случае, если определитель равен –1, то преобразование дает полное отражение.

Если оба полных отражения осуществляются последовательно относительно прямых, проходящих через начало координат, то результатом будет полный поворот относительно начала координат. Это можно увидеть, обратившись к следующему примеру.

Пример 3. Отражение и вращение

Рассмотрим плоскость треугольника АВС, показанную на рис. 4.7. Первоначально отобразим относительно оси х (уравнение (4.39)), а затем относительно прямой у = –х (см. выражение (4.42)). Результатом первого отображения будет

.

Результатом второго будет

.

Рис. 4.7

Повернем треугольник относительно начала координат на угол θ = 270º (4.35) и получим аналогичный результат

Отметим, что матрицы отражения из (4.39) и (4.42) ортогональны, т. е. транспонированная матрица одновременно является обратной. Например,

4.1.3.3. Масштабирование

Из рассуждений относительно преобразования точек следует, что величина масштабирования определяется значением элементов исходной диагональной матрицы. Если матрица

используется в качестве оператора воздействия на вершины треугольника, то имеет место «двукратное» расширение или равномерное масштабирование относительно точки начала координат. Если значения элементов не равны, то треугольник искажается, что проиллюстрировано на рис. 4.8.

Рис. 4.8

Треугольник АВС, преобразованный с помощью матрицы

,

переходит в пропорционально увеличенный треугольник А^*В^*С^*. Тот же треугольник, но преобразованный с помощью матрицы

переходит в треугольник D^*E^*F^*, имеющий искажение, вызванное разными коэффициентами масштабирования.

В общем случае при матрице

, (4.43)

в которой а = d, b = c = 0, выполняется пропорциональное масштабирование; если a ≠ d, b = c = 0, то масштабирование будет проведено непропорционально. В первом случае для a = d > 1 происходит расширение, т. е. увеличение изображения. Если a = d < 1, то происходит равномерное сжатие, т. е. фигура уменьшается. Непропорциональное расширение и сжатие возникают в зависимости от значений a и d, которые могут быть меньше либо больше, чем 1, независимо друг от друга.

Из рис. 4.8 видно также, что на первый взгляд преобразование треугольника является перемещением. Это объясняется тем, что относительно начала координат масштабируются координатные векторы, а не точки.

Для того чтобы лучше понять этот факт, рассмотрим преобразования АВС в D^*E^*F^* более внимательно. В частности,

Заметим, что каждая из компонент х координатных векторов треугольника DEF умножалась на масштабный коэффициент 3, а компоненты у – на 2.

Для того чтобы получить чистое масштабирование без эффекта перемещения, центр фигуры надо поместить в начало координат. Это видно на рис. 4.9, на котором треугольник АВС увеличивается в два раза при масштабировании относительно его центра с координатами, равными 1/3 основания и 1/3 высоты. Конкретная матрица преобразования имеет вид

.

Рис. 4.9