Оглавление Введение 5

4. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ 7

4.1. Геометрические преобразования на плоскости 7

4.1.1. Преобразование точек и линий 7

4.1.1.1. Изображение и преобразование точек 7

4.1.1.2. Преобразование прямых линий 10

4.1.2. Преобразование параллельных и пересекающихся прямых 13

4.1.3. Преобразование: поворот, отражение, масштабирование 18

4.1.3.1. Поворот 18

4.1.3.2. Отражение 21

4.1.3.3. Масштабирование 24

4.1.4. Комбинированные преобразования 26

4.1.5. Преобразование единичного квадрата 28

4.1.6. Однородные координаты 31

4.1.6.1. Геометрическая интерпретация однородных координат. 32

4.1.6.2. Геометрическая интерпретация пропорционального масштабирования 34 4.1.6.3. Точки бесконечности в однородных координатах 35

4.1.7. Перемещения 38

4.1.7.1. Поворот вокруг произвольной точки 38

4.1.7.2. Отражение относительно произвольной прямой 39

4.1.8. Правила выполнения преобразований 41

4.2. Пространственные преобразования 43

4.2.1. Трехмерное масштабирование 45

4.2.2. Трехмерное вращение вокруг осей координат 47

4.2.3. Поворот вокруг оси, параллельной координатной оси 47

4.2.4. Поворот вокруг произвольной оси в пространстве 49

4.2.5. Отражение в пространстве 49

4.2.6. Аффинные и проективные преобразования 50

4.3. Плоские и пространственные кривые. Поверхности 52

4.3.1. Представление плоских кривых 54

4.3.1.1. Непараметрические кривые 55

4.3.1.2. Параметрические кривые 57

4.3.2. Представление пространственных кривых 59

4.3.3. Представление поверхностей 63

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 67

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 68

РЕКОМЕНДУЕМЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 69

Введение

Вычислительная геометрия является теоретической основой решения геометрических задач с помощью ЭВМ и служит для представления в ЭВМ анализа и синтеза информации о геометрическом образе.

Фундаментом большинства приложений машинной графики являются математические методы, особенно геометрия и способы преобразования: поворот, преобразование и масштабирование геометрических фигур.

Математические методы определения кривых предусматривают использование конических сечений, круговой интерполяции дугами, кубических сплайнов, кривых Безье и кривых на основе В-сплайнов.

Изучая геометрию Евклида, мы ознакомились с такими понятиями, как конгруэнтность (равенство), подобие. Эти понятия объединяются под общим названием – преобразования, или соответствия.

В аффинной геометрии мы изучили аффинные соответствия между двумя плоскостями, а также частный случай – перспективно-аффинное соответствие или равенство.

Изучая проективную геометрию, мы рассмотрели перспективные и проективные соответствия геометрических форм (конфигурации Дезарга, Паскаля, Брианшона). Известно, что геометрия изучает те свойства образов, которые не меняются (т. е. инвариантны) относительно тех или иных преобразований.

Так, в аффинной геометрии были рассмотрены аффинные преобразования плоскости: косое сжатие и растяжение, сдвиг, симметрию.

Проективная геометрия содержит преобразования: гармонизм (ангармонические и гармонические отношения четырех точек); проективные преобразования пространства (перспектива и тени в перспективе, конические сечения).

Вычислительная геометрия рассматривает основные положения математики, необходимые для представления и преобразования геометрических объектов в машинной графике, например, перемещение, вращение, масштабирование, симметричное отображение, описание проекций трехмерных объектов и т. д.

Математической моделью называется запись в математических символах абстрактной конструкции, способной количественно описать различные явления и процессы.

Математическая модель охватывает класс абстрактных и символьных математических объектов, таких как числа или векторы, а также отношения между ними.

Математическое отношение это правило, связывающее два или более символических объектов. Математические отношения могут быть описаны при помощи математических операций.

Различают аксиоматическое и конструктивное определения математической модели.

Аксиоматическое определение – это, когда абстрактная модель определена непротиворечивым набором правил (т. е. определяющих аксиом), позволяющих вводить операции, которыми можно пользоваться и устанавливать общие отношения. Например, метрическое пространство – это действительные и комплексные числа.

Конструктивное определение вводит новую математическую модель, с использованием уже известных математических понятий (например, определение сложения и умножения матриц в терминах сложения и умножения чисел). Математический метод построения модели состоит в формировании таких объектов, для которых определены различные операции сложения и умножения (простейшая модель – система действительных чисел).

Евклидово и проективное пространства также являются математическими моделями, но эти модели более сложные, поэтому для их описания необходима договоренность в терминологии: равенство, преобразование, инвариантность, изоморфизм.

Равенство – это отношение эквивалентности двух объектов, которое обладает свойствами рифлексивности, симметрии и транзитивности.

Рифлексия – латинское слово «отражение», т. е. объект равен самому себе a = a.

Симметрия – греческое слово «гармония», соразмерность расположения частей предмета, так что одна его половина является зеркальным отражением другой, т. е. если a = b, то b = a.

Транзитивность – латинское слово «переход» в математике это: при a=b и b=c следует a=c.

В евклидовой геометрии транзитивность можно применить для параллельных прямых: если a||b и b||c, то a||c.

Преобразование устанавливается между двумя классами объектов. Преобразование – правило, которое сформулировано так, что каждому объекту X класса C ставится в соответствие объект X’ класса C’, т. е. XX’ (например y=x² – действительному числу ставится в соответствие действительное число).

Операция проецирования – это тоже преобразование. Например, при фотографировании происходит преобразование точек объекта в точки изображения.

Инвариантность – неизменность свойств при преобразованиях, например: инвариантность простого отношения в аффинных преобразованиях ; инварианты проективной геометрии – сложное отношение, гармонизм.

Изоморфизм – понятие, позволяющее одну модель представить другой моделью. Например, координаты точки A(x,y,z) и изображение на комплексном чертеже.