4.2.3. Поворот вокруг оси, параллельной координатной оси
Если необходимо вращать объект вокруг оси, не совпадающей с координатными осями x, y, z, то требуется выполнить следующие процедуры (рис. 4.18):
1) переместить тело х (заданное в локальной системе x′, y′, z′) так, чтобы локальная ось совпала с координатной (координаты центра параллелепипеда х равны [хо, уо, zо]);
2) повернуть вокруг указанной оси;
3) переместить преобразованное тело х* в исходное положение.
Математически это записывается так:
где 1) [х*] – преобразованное тело;
2) [х] – исходное тело;
3) [Тr]
– матрица перемещения
(сдвигает тело [х] параллельно
плоскости х = 0 до тех пор, пока ось
х’ не совпадет с осью х);
4) [Rx]
– соответствующая матрица поворота
(выполняет требуемое вращение вокруг
оси х);
5) [Тr]-1
– матрица, обратная матрице перемещения
(переносит ось х′, а следовательно,
и повернутое тело [х] обратно в
исходное положение).
Рис. 4.18
Чтобы совершить несколько поворотов в локальной системе осей х′, у′, z′, параллельных осям х, у, z, необходимо:
1) переместить локальную систему так, чтобы начало координат её совпало с началом координатных осей х, у, z;
2) выполнить требуемые повороты;
3) переместить локальную систему осей обратно в исходное положение.
4.2.4. Поворот вокруг произвольной оси в пространстве
Обобщенный случай поворота вокруг произвольной оси в пространстве встречается часто, например в робототехнике, мультипликации, моделировании. Следуя логике предыдущего обсуждения, поворот вокруг произвольной оси в пространстве выполняют с помощью переноса и простых поворотов вокруг координатных осей. Так как метод поворота вокруг координатной оси известен, то основная идея заключается в том, чтобы совместить произвольную ось вращения с одной из координатных осей.
Предположим, что произвольная ось в пространстве проходит через точку (хо, уо, zо) с направляющим вектором (сх, су, сz). Поворот вокруг этой оси на некоторый угол δ осуществляется по следующему правилу: выполнить перенос так, чтобы точка (хо, уо, zо) находилась в начале системы координат; соответствующие повороты так, чтобы ось вращения совпала с соответствующей осью, например, z; поворот на угол δ вокруг оси z; преобразование, обратное тому, что позволило совместить ось вращения с осью z; обратный перенос.
В общем случае для того, чтобы произвольная ось, проходящая через начало координат, совпала с одной из координатных осей, необходимо сделать два последовательных поворота вокруг двух других координатных осей. Для совмещения произвольной оси вращения с осью z сначала выполним поворот вокруг оси х, а затем вокруг оси у. Чтобы определить угол поворота α вокруг оси х, используемый для перевода произвольной оси в плоскость хz, спроецируем сначала на плоскость yz направляющий единичный вектор этой оси. Компоненты у и z спроецированного вектора равны су- и сz-компонентам единичного направляющего вектора оси вращения.
Объединенное преобразование имеет вид:
,
(4.64)
,
где и θ обозначают углы поворотов вокруг осей у′ и х′ соответственно.