4.3. Плоские и пространственные кривые. Поверхности

Существует много способов построения кривых вручную с помощью карандаша, ручки, кисточки, ножа и разнообразных инструментов: линейки, лекала, циркуля, плаза, шаблона и т. д. Каждый инструмент служит определенной цели, причем нет ни одного абсолютно универсального. Точно так же в машинной графике кривые строятся с помощью разных методов и инструментов. В этом разделе рассматриваются методы построения двумерных кривых, т. е. полностью лежащих в одной плоскости. Здесь ограничимся коническими сечениями.

Трехмерные, или пространственные, кривые широко используются в проектировании и разработке самой различной продукции: автомобилей, кораблей, самолетов, обуви, бутылок, зданий и т. д. Также они имеют большое значение для описания и интерпретации физических явлений в геологии, физике и медицине.

До начала применения математических и компьютерных моделей в процессе производства, дизайна и изготовления использовалась начертательная геометрия. Многие ее методы были перенесены в машинную графику.

Поверхности часто изображаются как сеть кривых, лежащих в ортогональных секущих плоскостях, с трехмерными контурами деталей. В этом случае сечения получают оцифровкой физической модели или чертежа и математическим подбором кривой, проходящей через все заданные точки.

Чаще всего рассматриваются два таких метода: кубических сплайнов и параболической интерполяции. Существуют и другие реализации этого подхода, например, математическое описание кривых генерируется без изначального знания формы кривой. Его примеры – это кривые Безье и их обобщение до В-сплайнов. Эти методы отличаются тем, что кривая может не проходить ни через одну заданную точку. Контрольные точки определяют только направление изгиба. Оба подхода можно применить при любом способе задания кривой.

Поверхности и их описание играют важную роль в конструировании и производстве. Очевидными примерами этого являются разработка и производство автомобильных кузовов, корабельных корпусов, авиационных фюзеляжей и крыльев, пропеллеров, турбин, компрессоров и лопастей вентиляторов; посуды, мебели и обуви. В этом случае сущность конструирования либо по функциональным, либо по эстетическим причинам составляет форма или геометрия поверхности. Описание поверхности также играет важную роль в представлении данных, полученных в медицине, геологии, физике и других естественных науках.

Традиционным способом представления поверхности является использование нескольких ортогональных проекций. По существу, поверхность задаётся сеткой ортогональных плоских кривых, лежащих на секущих плоскостях, и несколькими ортогональными проекциями определенных «характерных» пространственных линий (рис. 4.19). Эти кривые первоначально могут быть созданы на бумаге либо взяты (оцифрованы) из трехмерной модели, например в автомобильной промышленности дизайнерами традиционно используется глиняная модель.

а б

Рис. 4.19

В машинной графике и автоматизированном проектировании выгодно разрабатывать «настоящую» трехмерную математическую модель поверхности. Такая модель позволяет на ранних стадиях и относительно легко провести анализ характеристик поверхности, например кривизны, или физических количественных характеристик, зависящих от поверхности, например объекта, площади поверхности, момента инерции и т. д. Упрощается визуализация поверхности, применяемая для разработки или контроля за ходом разработки. Далее, по сравнению с традиционным методом, используют сетку линий, также существенно упрощается генерация необходимой для изготовления поверхности информации, например управляющих программ для станка с числовым программным управлением. Разработанные в последнее время методы описания поверхностей достигли такой стадии развития, что позволяют «почти» исключить традиционное описание поверхности с помощью сетки линий.

Существуют две основные идеи, лежащие в основе методов описания поверхностей. В первой, связанной в основном с именем Кунса, математическую поверхность стараются создать по заранее известным данным. Во второй, связанной в основном с имением Безье, математическую поверхность стараются создать ab initio (с самого начала). В первое время виды деятельности, связанные с числовыми параметрами, например конструирование, тяготели к первому подходу, тогда как другие, учитывающие визуальные, осязательные и эстетические факторы, например дизайн и живопись, тяготели ко второму.