Пример 6. Проецирование в однородных координатах

Для отрезка АВ из рис. 4.13 имеем p=g=1, [А] = [1 3 1] и [В] = [4 1 1],

.

Таким образом, [С] = [1 3 5] и [D] = [4 1 6] на плоскости h = x+y+1. Проецируя обратно на плоскость h=1 путем деления на коэффициенты однородных координат, проведем двумерное преобразование точек

,

.

Результат показан на рис. 4.13.

4.1.6.2. Геометрическая интерпретация пропорционального масштабирования

Оставшийся необъясненным элемент s (33) – матрицы преобразования соответствует пропорциональному масштабированию, при котором все компоненты вектора изменяются пропорционально. Покажем это, рассмотрев следующие преобразования:

, (4.54)

где Х = х, Y = y и h = s. После нормализации получим X^* = x/s и Y = y/s. Таким образом, преобразование [x y 1] [Т] = [x/s y/s 1] является равномерным масштабированием координатного вектора. Если s < 1, то происходит растяжение, а если s >1 – сжатие.

Заметим, что это преобразование осуществляется также в плоскости h = 1. Здесь h = s = const, и поэтому плоскость h ≠ 1 параллельна плоскости h = 1. Геометрическая интерпретация данного эффекта показана на рис. 4.14.

Рис. 4.14

Если s < 1, то h = const задает плоскость, лежащую между плоскостями h = 1 и h = 0. Следовательно, когда преобразуемая прямая АВ проецируется обратно на плоскость h = 1, то A^*B^* увеличивается. Аналогично, если s > 1, то h = const определяет плоскость, расположенную за плоскостью h = 1 и проходящую вдоль оси h. В случае проецирования прямой CD на плоскость h = 1 происходит уменьшение прямой C^*D^*.

4.1.6.3. Точки бесконечности в однородных координатах

Однородные координаты предоставляют удобный и эффективный способ нанесения точек из одной системы координат в соответствующие точки альтернативной координатной системы. Бесконечная область в одной координатной системе часто преобразуется в конечную область в альтернативной системе. При некорректном выборе переноса параллельность прямых может не сохраняться. Однако точки пересечения после преобразования оказываются снова в точках пересечения. Данное свойство используется для определения однородных координат представления точек бесконечности.

Рассмотрим пару пересекающихся прямых, заданных уравнениями

x + y = 1,

2x – 3y = 0.

Прямые пересекаются в точке с координатами х = 3/5, у = 2/5. запишем уравнения в виде х + у – 1 = 0, 2х – 3у = 0 и представим их в матричной форме

или

.

Если матрица [М′] квадратная, то пересечение может быть получено путем обращения матрицы. Изменим систему исходных уравнений следующим образом:

x + y –1 = 0,

2x – 3y = 0,

1 = 1

или в матричной форме

, т. е.

.

Квадратная матрица, обратная данной (4.21), имеет следующий вид:

Умножая обе части уравнения на [М]^-1 и учитывая, что [М][М]^-1 = [I] является тождественной матрицей, получим

.

Таким образом, точка пересечения опять имеет координаты х = 3/5, у = 2/5.

Рассмотрим теперь две параллельные прямые, заданные следующим образом:

x + y = 1,

x + y = 0.

По определению геометрии Евклида, точка пересечения двух параллельных прямых расположена в бесконечности. Продолжая предыдущие рассуждения, вычислим точку пересечения этих прямых, заданных в матричной форме,

.

Однако, несмотря на то, что матрица квадратная, она не имеет обратной, так как две её строки тождественны. Такая матрица называется сингулярной. Возможна иная формулировка с обратимой матрицей. Получим её, переписывая систему уравнений следующим образом:

x + y – 1 = 0,

x + y = 0,

x = x

или в матричной форме

Однородные координаты для точки [4 3]:

В данном случае матрица не является сингулярной и существует обратная ей

.

Умножая обе части уравнения на обратную матрицу, получаем

.

Результирующие однородные координаты [1 –1 0] определяют точку пересечения двух параллельных прямых, т. е. точку бесконечности. В частности, они представляют данную точку в направлении [1 –1] двумерного пространства. В общем виде двумерный координатный вектор [a b 0] представляет точку бесконечности на прямой ay – bx = 0. Приведем несколько примеров:

Вектор с однородной компонентой h = 0 действительно представляет точку бесконечности и может быть также интерпретирован как движение к пределу.

Рассмотрим прямую у^* = (3/4)х^*, точку [X Y h] = [4 3 1]. Напомним, что в однородных ординатах не существует единственного представления координатного вектора. точка [4 3 1] представлена в однородных координатах по всем направлениям. Заметим, что при h → 0 отношение у^*х^* остается равным 3/4, как и требуется для сохранения уравнения. Кроме этого, обратим внимание на то, что следующая пара (х^*у^*), все точки которой располагаются на линии у^* = (3/4)х^*, быстро приближается к бесконечности. Таким образом, предел при h → 0 и есть точка бесконечности, заданная в однородных координатах как [X Y h] = [4 3 0].