4.1.3. Преобразование: поворот, отражение, масштабирование

Дополнительное изучение рис. 4.3 и примера 2 показывает, что преобразование [Т] включает в себя поворот, отражение, масштабирование. Рассмотрим каждое из этих преобразований отдельно.

4.1.3.1. Поворот

Рассмотрим плоскость треугольника ABC (рис 4.4) и с помощью следующего преобразования повернем его на 90 против часовой стрелки относительно начала координат

.

Рис. 4.4

Если использовать матрицу размером (22), состоящую из координат x и у вершин треугольника, то можно записать

,

что является координатами результирующего треугольника A^*B^*C^*. Поворот на 180 относительно начала координат достигается путем следующего преобразования

,

а на 270 относительно начала координат – преобразованием

.

Разумеется матрица тождественного преобразования

соответствует повороту вокруг начала координат на 0 или 360. Обратим внимание, что в этих примерах не встречаются ни масштабирование, ни отражение.

В этих примерах осуществляется преобразование в специальных случаях поворота вокруг начала координат на углы 0, 90, 180, 270. Как осуществить поворот вокруг точки начала координат на произвольный угол ? Для ответа на этот вопрос рассмотрим вектор положения от начала координат до точки Р (рис 4.5). Обозначим r – длину вектора, а  – угол между вектором и осью х. вектор положения поворачивается вокруг начала координат на угол  и попадет в точку Р^*. Записав векторы положения для Р и Р^*, получаем:

и

Используя формулу для косинуса суммы углов, перепишем выражение для Р^* следующим образом

.

Используя определения для х и у, можно переписать Р^* как

.

Таким образом, преобразованная точка имеет координаты

или в матричном виде

. (4.34)

Рис. 4.5

Итак, преобразование поворота вокруг точки начала координат на произвольный угол θ задается матрицей

. (4.35)

Повороты являются положительными, если осуществляются против часовой стрелки относительно точки вращения (рис. 4.5).

Определитель общей матрицы поворота имеет следующий вид:

. (4.36)

В общем случае преобразования по матрице с детерминантом, равным 1, приводят к полному повороту.

Предположим теперь, что требуется возвратить точку Р^* обратно в Р, т. е. выполнить обратное преобразование. Очевидно, что требуемый угол поворота равен – θ. Из формулы (4.35) возьмем матрицу для выполнения необходимого преобразования

(4.37)

так как cos(–θ) = cosθ и sin(–θ) = –sinθ. Выражение [T]^-1 является формальной записью обратной матрицы [T]. Можно показать, что матрица [T]^-1 является обратной к [T], если вспомнить, что результат умножения матрицы на обратную дает единичную матрицу. В данном случае:

где [I] – единичная матрица.

Анализ выражений (4.35) и (4.37) приводит к другому интересному и полезному результату. Вспомним, что транспонирование матрицы определяется заменой её строк столбцами. Обозначим транспонированную матрицу [T] как [T]^T. Сравнивая её с [T]^-1, видим, что

. (4.38)

Обратная матрица вращения является транспонированной. Поскольку формально определитель обратной матрицы вычисляется гораздо сложнее, чем определитель транспонированной, то выражение (4.38) является достаточно важным и полезным результатом. В общем случае обратной для любой матрицы преобразования полного поворота, т. е. матрицы с определителем, равным +1, является её транспонированная матрица (такие матрицы называют ортогональными).