4.1.7. Перемещения
4.1.7.1. Поворот вокруг произвольной точки
Выше было рассмотрено вращение, совершаемое вокруг начала координат. Однородные координаты предусматривают механизм выполнения поворотов вокруг точек, отличных от начала координат.
В общем случае поворот вокруг произвольной точки может быть реализован посредством её перемещения в начало координат, выполнения требуемого поворота и последующего перемещения результата обратно в исходный центр вращения. Таким образом, поворот вектора [х у 1] вокруг точки m, n на произвольный угол можно осуществить следующим образом:
.
(4.55)
Выполняя действия над двумя внутренними матрицами, можно записать
. (4.56)
Рассмотрим пример, иллюстрирующий данный результат.
Пример 7. Поворот относительно произвольной точки
Предположим, что центр объекта лежит в точке [4 3]. Требуется повернуть объект на прямой угол против часовой стрелки вокруг центра. Используя матрицу
,
проведем поворот вокруг начала координат, не совпадающего с центром объекта. Обязательной процедурой является прежде всего такое перемещение объекта, чтобы желаемый центр вращения оказался в начале координат. Это достигается с помощью следующей матрицы перемещения:
.
Далее применяем матрицу поворота и наконец с помощью матрицы перемещения приведем результаты поворота обратно к первоначальному центру. Вся операция
может быть реализована одной матрицей путем простого перемножения отдельных матриц, т. е.
.
4.1.7.2. Отражение относительно произвольной прямой
В п. 4.1.3.2 обсуждалось отражение относительно прямых, проходящих через начало координат. Иногда требуется выполнить отражение объекта относительно прямой, не проходящей через точку начала координат. Это можно сделать, воспользовавшись процедурой, аналогичной вращению вокруг произвольной точки. Конкретно выполняются следующие действия:
перемещение линии и объекта таким образом, чтобы линия прошла через начало координат;
поворот линии и объекта вокруг точки начала координат до совпадения с одной из координатных осей;
отражение относительно координатной оси;
обратный поворот вокруг начала координат;
перемещение в исходное положение.
В матричном виде данное преобразование имеет представление
,
(4.57)
где Т′ – матрица перемещения; R – матрица поворота вокруг начала координат; R′ – матрица отражения.
Перемещения, повороты и отражения также применяются для преобразования произвольных фигур. Рассмотрим следующий пример.
Пример 8. Отражение относительно произвольной прямой
Рассмотрим прямую L и треугольник АВС (рис. 4.15, а). уравнение прямой L имеет вид
.
Координатные векторы [2 4 1], [4 6 1] и [2 6 1] задают вершины треугольника АВС.
Прямая L пройдет через начало координат при перемещении её на –2 единицы в направлении оси у. В результате этого при повороте вокруг начала координат на –tg-1(1/2) = –26,57о прямая совпадает с осью х. выражение (4.39) используется для отражения треугольника относительно оси х, затем преобразованные координатные векторы треугольника поворачиваются и перемещаются к исходной ориентации. Комбинация преобразований будет иметь вид
и конкретно для координатных векторов треугольника А*В*С* имеем
.
Рис. 4.15
Рис. 4.15 иллюстрирует различные этапы данного преобразования: исходное и конечное положения (рис. 4.15, а); перенос прямой в начало координат (рис. 4.15, б); поворот до совпадения с осью х (рис. 4.15, в); отражение относительно оси х (рис. 4.15, г); обратный поворот (рис. 4.15, д); обратный перенос (рис. 4.15, а).