- •Инженерная геометрия
- •Часть 3
- •Краткое содержание конспекта лекций
- •Часть 1
- •Часть 2
- •Часть 3
- •Оглавление Введение 5
- •Введение
- •4. Элементы вычислительной геометрии
- •4.1. Геометрические преобразования на плоскости
- •4.1.1. Преобразование точек и линий
- •4.1.1.1. Изображение и преобразование точек
- •4.1.1.2. Преобразование прямых линий
- •Пример 1. Средняя точка прямой
- •4.1.2. Преобразование параллельных и пересекающихся прямых
- •Пример 2. Пересекающиеся прямые
- •4.1.3. Преобразование: поворот, отражение, масштабирование
- •4.1.3.1. Поворот
- •4.1.3.2. Отражение
- •Пример 3. Отражение и вращение
- •4.1.3.3. Масштабирование
- •Комбинированные преобразования
- •4.1.5. Преобразование единичного квадрата
- •4.1.6. Однородные координаты
- •4.1.6.1. Геометрическая интерпретация однородных координат
- •Пример 6. Проецирование в однородных координатах
- •4.1.6.2. Геометрическая интерпретация пропорционального масштабирования
- •4.1.6.3. Точки бесконечности в однородных координатах
- •4.1.7. Перемещения
- •4.1.7.1. Поворот вокруг произвольной точки
- •Пример 7. Поворот относительно произвольной точки
- •4.1.7.2. Отражение относительно произвольной прямой
- •Пример 8. Отражение относительно произвольной прямой
- •4.1.8. Правило выполнения преобразований
- •4.2. Пространственные преобразования
- •4.2.1. Трехмерное масштабирование
- •4.2.2. Трехмерное вращение вокруг осей координат
- •4.2.3. Поворот вокруг оси, параллельной координатной оси
- •4.2.4. Поворот вокруг произвольной оси в пространстве
- •4.2.5. Отражение в пространстве
- •4.2.6. Аффинные и проективные преобразования
- •4.3. Плоские и пространственные кривые. Поверхности
- •4.3.1. Представление плоских кривых
- •4.3.1.1. Непараметрические кривые
- •4.3.1.2. Параметрические кривые
- •Непараметрический вид
- •4.3.2. Представление пространственных кривых
- •4.3.3. Представление поверхностей
- •Вопросы для самопроверки
- •Заключение
- •Рекомендуемый библиографический список
- •Учебное издание
- •Инженерная геометрия
- •Часть 3
- •680021, Г. Хабаровск, ул. Серышева, 47.
4.3.1.2. Параметрические кривые
В параметрическом виде каждая координата точки представлена как функция одного параметра. Значение параметра задает координатный вектор точки на кривой. Для двумерной кривой с параметром t координаты точки
x = x(t),
y = y(t).
Тогда векторное представление точки на кривой:
.
Чтобы получить непараметрическую форму, нужно исключить t из двух уравнений и вывести одно в терминах х и у.
Параметрическая форма позволяет представить замкнутые и многозначные кривые. Производная, т. е. касательный вектор, есть
,
где ' обозначает дифференцирование по параметру. Наклон кривой, dy/dx, равен
.
Отметим, что при x’(t) = 0 наклон бесконечен. Параметрическое представление не вызывает в этом случае вычислительных трудностей, достаточно приравнять к нулю одну компоненту касательного вектора.
Так как точка на параметрической кривой определяется только значением параметра, эта форма не зависит от выбора системы координат. Конечные точки и длина кривой определяются диапазоном изменения параметра. Часто бывает удобно нормализовать параметр на интересующем отрезке кривой . Осенезависимость параметрической кривой позволяет с легкостью проводить с ней аффинные преобразования, рассмотренные в разд. 2 (ч. 1).
На рис. 4.21 сравниваются непараметрическое и параметрическое представления окружности в первом квадранте.
Непараметрический вид
, .
Точки на дуге соответствуют равным приращениям х. При этом дуга состоит из отрезков разной длины, и получается весьма приблизительное графическое представление окружности. Кроме того, расчет квадратного корня – вычислительно дорогостоящая операция.
Стандартная параметрическая форма единичной окружности:
,
или
, . (4.67)
,
.
Рис. 4.21
Параметр θ – геометрический угол, отмеряемый против часовой стрелки от положительной полуоси х. На рис. 4.21, б изображена дуга, построенная по равным приращениям параметра в пределах 0 ≤ θ ≤ /2. При этом точки располагаются на одинаковом расстоянии вдоль окружности, и окружность выглядит гораздо лучше. Недостаток такого представления – сложность вычисления тригонометрических функций.
Параметрическое представление кривой не единственно, например,
, , (4.68)
также представляет дугу единичной окружности в первом квадранте (рис. 4.21, в). Связь между параметрическим представлением показана на рис. 4.22. Из него видно, что для единичной окружности
, , ,
, , .
Факт, что уравнение 4.68 представляет дугу единичной окружности, подтверждается следующим:
где r – единичный радиус.
Н
Рис. 4.22
В случае более сложного параметрического представления бывает удобнее искать значение явной переменной итеративными методами.
Параметрические представления конических сечений осенезависимы и дают более качественное изображение, чем непараметрические; однако оба имеют свои достоинства и недостатки и часто применяются в машинной графике.