34.Похідні вищих порядків, їх властивості.

Нехай ф-я y=f(x) диференц в О(х₀) у'=f ' (x), хєО(х₀).

Якщо скінченна похідна (у')', то вона називається похідною 2-го порядку (2-гою похідною) ф-ї f(x).

Позначається: у'' (у')'.

Введемо поняття похідної n-го порядку –похідної від похідної (n-1)порядку: у⁽ⁿ⁾ (y^(n-1))'.

Методика обчислення похідних вищих порядків передбачає знання обчислення лише похідної 1-го порядку.Для прикладу знайдемо похідну n-го порядку ф-ї у = х^α (х > 0, α — б-я вещественное число). Послідовно диференціюючи, будемо мати:

y'= αх^α-1; (у)'' = α(α - 1)х^α-2; у⁽³⁾ = α(α - 1)(α-2)х^α-3 ,...

Звідси легко зрозуміти загальний закон:

(х^α)⁽ⁿ⁾ = α(α - 1)(α - 2)... (α - n + 1)х^α-n.

Довед цього закону легко проводиться методом математичної індукції.

В частковому випадку а = m, де m — натуральне число, отримаємо

(х^m)^(m) = m!, (x^m)⁽ⁿ⁾ =0 при n>m.

Таким чином, n-на похідна многочлену m-го порядку при n>m рівна нулю.

Формула Лейбніца для n-ї похідної добутку 2-х ф-й. В той час,як встановлене раніше правило знаходж 1-ї похідної від суми чи різн 2-х ф-й (u±v)' = u' v' легко переноситься (по методу індукції) на випадок n-ї похідної (u± v)⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾±v⁽ⁿ⁾виникають більші труднощі обчислення n-ї похідної від добутка 2-х ф-й uv.

Відповідне правило носить назву формули Лейбніца і має вигляд:

( 1).

Легко побачити закон, за яким побуд права ч-на формули (1): вона співпадає з формулою розкладу бінома (u+v)ⁿ, тільки замість степенів u i v стоять похідні відпов порядків. Ця схожість стає ще більш повною, якщо замість самих ф-й u i v писати відпов u⁽⁰⁾ i v⁽⁰⁾ (тобто якщо розглядати саму ф-ю як похідну нульового порядку).

Доведемо ф-лу Лейбніца методом індукції. При n=1 ця ф-ла приймає вигляд (uv)' = u'v + uv', що є справедливим правилом диференц добутку 2-х ф-й. Тому достатньо, припустивши справедл ф-ли(1)для деякого номера n, довести її справедл для наступ номера n+1. Отже, нехай для деякого номера n ф-ла (1) справедл. Продиференц цю ф-лу і об'єднаємо доданки, що стоять в правій ч-ні так, як це вказано нижче:

(2)

(При цьому ми скорист тим, що 1= ). Відома формула: .

Скорист цією ф-лою, можна переписати рівність (2):

.Тим самим доведена справедл ф-ли (1) для номера (n+1). Виведення ф-ли Лейбніца завершено.

35.Диференціали вищих порядків, їх властивості.

Озн.Диференц 2го порядку назив дифер від 1-го дифер,причому прирости аргумента беруться однакові.

Познач:d²y d(dy)

dy=y'_xdx

d²y=d(y'_xdx)=y''_xdxdx=y''x(dx)²=y''dx².

Отже, d²y=y''_xdx² y''_x=d²y/dx²

dy=y'_xdx² y'_x=dy/dx – для 1-го диференціала.

Озн.Диференц n-го порядку назив дифер від дифер (n-1)-го порядку; прирости аргумента ті самі:

dⁿy=d(d^n-1y).

Ф-ла: dⁿy=y⁽ⁿ⁾_xdxⁿ(1)

Довед. При n=1 і n=2 ф-ла (1) справедлива. Припустимо, що ця ф-ла справедлива для деякого номера (n-1), тобто припустимо, що

d^n-1y=y^(n-1)_xdx^n-1.Тоді, згідно з визначенням dⁿy, отримаємо

, тобто справедливість ф-ли (1) встановлено.

З ф-ли (1) випливає наступне: (1')

Важливо відмітити, що при n>1 ф-ли (1) і (1') справедливі лише тоді, коли х є незалежною змінною, тобто диференціали вищих порядків не мають властивості інваріантності форми.