12. Властивості границь функцій.

Власт1: якщо f(x) має в т.х0 скінченну границю, то існує О(х0) такий, що ф-я f обмежена на множині X O(x0).

Довед

Виберемо О₁(а)=>

Власт2: (Лема про збереження знаку) Якщо ф-я f має в точці х0 скінченну границю а такі, що

Довед: В силу того, що ане=0 маємо очевидну нерівність 0<|a|/2<|a|. Виходячи з існування границі О_|a|/2(a) виконується

Нехай a>0, тоді f(x)>a-a/2=a/2>0

Нехай a<0, тоді f(x)<-|a|+|a|/2=-|a|/2<0 c=|a|/2

Власт3: якщо f(x)=c(const), то

Власт4: якщо f(x)>=b Тоді .

Власт5: Лема про 2-х міліціонерів: якщо

Власт6: якщо існують скінченні границі ф-й f(x) i g(x) при х→х0, то існують скінченні границі таких ф-й при х→х0

αf(x)+βg(x), α,β є R, f(x)g(x); f(x)/g(x) (Lim x→x0 g(x)не=0), при цьому викон

Дов-ня: Власт 3-6 доводяться за доп означ Гейне та відпов власт границь послід.

13. Нескінченно малі функції.

Озн.Ф-я d(x) назив НМФ при x→x0 якщо

Властивості НМФ:

1. Ф-я f(x) має скінченну границю при x→x0 тоді і тільки тоді, коли ф-я α(х)=f(x)-a є НМФ при x→x0.

Довед: <=> За означенням:

За означ Коші

2. Лін комбінація скінченного числа НМФ при х→х0 є НМФ при х→х0

Довед: Випливає з властивості 6 для границь ф-й: якщо існують скінченні границі ф-й f(x) i g(x) при х→х0, то існують скінченні границі таких ф-й при х→х0

αf(x)+βg(x), α,β є R, f(x)g(x); f(x)/g(x) (Lim x→x0 g(x)не=0), при цьому викон

3. Добуток НМФ при х→х0 на обмежену ф-ю є НМФ при х→х0.

Довед: нехай ф-я α(х) НМ при х→х0, а ф-я f(х) обмежена на Х(ОДЗ ф-ї). В силу обмеженості існує число с>0: . Так як α(х) НМФ при х→х0 => .

.

Наслідок: Добуток скінченного числа НМФ при х→х0 є НМФ.

14. Порівняння функцій в околі заданої точки. Символи Ландау.

Нехай дані f(х), g(х), х є Х, х₀ –точка з Х. О(х₀), φ(х), х є Х О(х₀)

f(х) =φ(х)g(х)

Озн. Ф-ція f(х) наз обмеженою відносно g(х) при х→х_0, якщо

с>0 | φ(х)|≤c х є Х О(х₀)

З озн-ня випливає: |f(х)| ≤c| g(х)|, х є Х О(х₀)

f(х)=O(g(х)), х→х₀

Озн2.Ф-ція f наз того ж порядку, що і ф-ція g в околі точки х₀ при х→х_0, якщо

с₁, с₂>0 х є Х О(х₀)

С₁≤| φ(х)|≤c₂

С₁| g(х)|≤ |f(х)| ≤c₂| g(х)|

f того ж порядку, що і g.

Позн. f=О(g), g=O(f), х→х_0/

Озн3.Ф-ція f наз нескінченно малою відносно ф-ії g при х→х_0,якщо φ(х)-НМФ

=0. Позн. f=о(g), х→х₀

Озн4. Ф-я f наз еквів g в околі точки х_0, якщо =1, f~ g, х→х₀

Озн5. …якщо f=о(g), х→х₀ та =0, f – НМФ більш високого порядку ніж g.

Озн5+…якщо f=о(gⁿ), х→х₀, nє N, =0, то f – нескінченно мала ф-ція порядку n відносно g.

Озн5++…якщо не обертається в 0 в околі т х₀, х₀ ∉ Х, то

1) f=о(g), х→х₀ ↔ =0

2) f~ g, х→х₀ ↔ =1

3) =k,k≠0 при f=О(g), х→х₀

Заув. В наведених оз-нях ф-ції f i g можна розгляд як послід-сті

f={x_n}, g={y_n}. Тоді виз-ня міститимуть в собі поняття.

1) Послідовн., обмеж відносно іншої посл. х_n=O(y_n), n→

2) посл одного порядку

х_n=O(y_n), у_n=O(х_n) n→

3)х_n~y_n, n→

4) х_n=o(y_n), n→

О,о – символи Ландау.

15. Критерій Коші існування границі функції.

Теорема Критерій Коші: Для того, щоб ф-ція мала скінчену границю при х→х₀ необхідно і достатньо, щоб , х₀є , a є ↔

ε 0 O(x₀): x₁,x₂ X O(x₀)(| - |<ε)

Необхідність: ε 0 O(x₀): x₁,x₂ X O(x₀)(| -a| )< )^ )<

| - |=(| -a) + ≤| -a| + <ε.

Достатність: {x_n}, x_n є X, =x₀ n_{0 0} O(x₀) X;

₀ O(x₀) X

За припущенням: | - |<ε→ послідовність f(x_n) фундаментальна. За критерієм Коші для послід ця послід має скінчену границю ( =аєR) → {x_n}, x_n є X→озн Гейне→в силу припущень : {x_n}, x_n є X =x₀ ми одержали =аєR→ =а, х₀є , a є .

Теорема. =а, х₀є , a є . Тоді і тільки тоді, коли

ε 0 O(x₀): x₁,x₂ X O(x₀)(| - |<ε)