- •1. Основні властивості нескінченно малих послідовностей.
- •2. Теорема Больцано-Вейєрштрасса
- •3. Поняття фундамент послідов.Фундаментальність збіж послідов.
- •4. Єдиність границі послідовності.
- •5. Перехід до границі послідовності у нерівностях.
- •6. Монот послідовності. Ознака збіжності монотонної послідовності.
- •7.Теореми про границю суми, добутку, віднош чп.
- •8. Критерій Коші збіжності числової послідовності.
- •9. Число як границя збіжної монотонної послідовності.
- •11. Озн. За Гейне границі ф-ї. Точка дотикання множини
- •12. Властивості границь функцій.
- •13. Нескінченно малі функції.
- •14. Порівняння функцій в околі заданої точки. Символи Ландау.
- •15. Критерій Коші існування границі функції.
- •16. Границі монотонних функцій.
- •17. Перша чудова границя.
- •24. Друга чудова границя.
- •19. Еквівалентні функції.
- •20. Поняття неперервності функції в точці. Одностороння непер-сть.
- •21.Різні форми запису неперервності функції в точці.
- •22. Неперервність оберненої функції.
- •23. Теорема Вейєрштраса про неперервну на відрізку функцію
- •24. Теорема Больцано-Коші.
- •25.Поняття похідної. Геометричний, механічний та ек зміст похідної
- •26.Зв'язок неперервності та диференційованості.
- •27.Необхідна та достатня умова диференційованості ф-ї.
- •28.Поняття диференціалу.Геометрич та механіч зміст диференціалу.
- •31.Похідна оберненої функції.
- •32.Власт диференціалу.Інваріантність форми і-го диференціалу.
- •33.Похідні основних елементарних функцій
- •34.Похідні вищих порядків, їх властивості.
- •35.Диференціали вищих порядків, їх властивості.
- •36.Теорема Ферма.
- •37.Теорема Ролля. Її геометричний зміст.
- •38.Теорема Лагранжа про скінченний приріст, її геометричний зміст.
- •39.Теорема Коші про середнє значення.
- •40. Перше правило Лопіталя.
- •41.Формула Тейлора та Маклорена з залишковим членом у формі Пеано.
- •42.Формула Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа.
- •43.Необхідна та достатня умова монотонності функції на інтервалі.
- •44. Екстремум функції. Необхідна умова внутрішнього локального екстремуму
- •45. Достатні умови екстремуму (використ першої похідної).
- •46.Достатні умови екстремуму (використання похідних вищих порядків). __
- •47.Опуклість функції. Геометричне визначення за допомогою хорд.
- •48.Необхідні та достатні умови опуклості функції.
- •49.Поняття точки перегину. Необхідні умови точки перегину.
- •50.Достатні умови точки перегину.
- •51.Поняття асимптоти. Визначення параметрів похилої асимптоти.
- •52.Лема про функції, що мають однакові похідні на інтервалі. Поняття первісної функції. Поняття невизначеного інтегралу, його властивості. Таблиця інтегралів.
- •53.Заміна змінної у невизначеному інтегралі та інтегрування частинами.
- •54.Інтегрування раціональних дробів.
- •55.Інтегрування тригонометричних виразів, універсальна тригонометрична підстановка.
- •56.Інтегрування найпростіших ірраціональних функцій.
- •57.Поняття інтегральної суми. Поняття визначеного інтеграла Рімана. Необхідна умова інтегрованості функції за Ріманом.
- •58.Поняття верхньої та нижньої сум Дарбу. Вла-сті сум Дарбу. Формулювання критерію інтегрованості.Приклади застосування.
- •59. Поняття рівномірно неперервної функції. Формолювання теореми Кантора про рівномірну неперервність непер ф-ції. Інтегрованість непер ф-ції.
- •60. Інтегрованість ф-ції, монотонної на відрізку. Інтегрованість обмеженої ф-ції, що має скінчену к-сть точок розриву.
- •61. Властивості визн інтегралу, що пов’язані з підінтегральною ф-цією, з відрізком інтегрування і визн нерівностями.
- •62. Теореми про середнє значення інтеграла Рімана.
- •63. Неперервна залежність визначеного інтегралу від змінної верхньої границі. Похідна інтегралу по змінній границі. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •64. Заміна змінної у визначеному інтегралі, її геометричний зміст.
- •65. Формула інтегрування частинами для визначеного інтегралу.
- •66. Поняття площі плоскої фігури.
- •67. Критерій квадровності плоскої фігури. Приклад необмеженої фігури скінченної площі.
- •68. Обчислення площ і довжин дуг кривих. Обчислення об’ємів просторових фігур.
- •69. Невласні інтеграли першого і другого роду. Критерій Коші збіжності невласного інтегралу.
- •70. Невласні інтеграли від невід’ємних ф-цій.
- •71.Абсолютно і умовно збіжні невласні інтеграли. Приклади.
- •72. Ознаки збіжності та розбіжності невласних інтегралів. Еталонні інтеграли.
- •73. Ознаки Діріхле та Абеля збіжності невл інтеграла.
56.Інтегрування найпростіших ірраціональних функцій.
1)∫R(x,x(в степені 1/n),x(в степені1/m)…x(в степені 1/1)dx зводиться до інтегралу від рац дробу за допомогою заміни:x=t(в степені N),N=НСК(n,m,s), dx=Nt(в степені N-1)dt ;∫R(t(в степені n),t(в степеніN/n…t (в степеніN/s)Nt(в степені N-1)dt.
2)∫R(x1((ax+b)/(cx=d)) (в степені 1/n)… ((ax+b)/(cx+d)) (в степені1/1))dx (ax+b)/(cx+d)=t(в степені N) N=НСК(n,m,…S) NєN
3)інтегрування диф. біномів. диф.біном-x(в степені m)(a+bx(в степені n))(в степені p)dxБ ,де a,b,m,n,p єR. Теор:інтеграл від диф.бінома де m,n,p єQ зводиться до інт від рац дробу лише в 3 випадках: а)p єZ;б)(m+1)/n єZ; в)((m+1)/n)+р єZ
57.Поняття інтегральної суми. Поняття визначеного інтеграла Рімана. Необхідна умова інтегрованості функції за Ріманом.
Нехай на відрізку визначена дійсна функція дійсного аргументу .
Розглянемо розбиття відрізка — скінченна множина попарно різних точок відрізка. Це розбиття ділить відрізок на n відрізків .Довжина найбільшого з них , де , зветься діаметром розбиття.Розглянемо на кожному відрізку розбиття точку . Інтегральною сумою зветься вираз .
Якщо при прямуванні діаметра розбиття до нуля інтегральні суми прагнуть до одного й того ж числа, незалежно від вибору , то це число зветься інтегралом функції на відрізку , тобто У цьому випадку, сама функція f(x) називається інтегровною (за Ріманом) на [a,b]; в протилежному випадку f(x) є неінтегровною (за Ріманом) на відрізку [a,b].
Інтеграл Рімана - найпростіший із визначених інтегралів, є границею інтегральної суми. Для функції однієї змінної f(x), визначеній на відрізку [a,b] та певного розбиття R цього відрізку на відрізки [xi,xi + 1] інтегральна сума визнається як
SR = |
∑ |
f(ξi)(xi + 1 − xi), |
|
i |
|
де - будь-яка точка з відрізку.
Якщо існує границя таких сум при прямуванні найбільшої довжини відріку [xi,xi + 1] до нуля, то функція f(x) називається інтегрованою, а границя інтегральної суми називається інтегралом Рімана функції на відрізку [a,b] і позначається .Інтеграл Рімана можна також визначити як границю сум Дарбу.Інші визначення інтегралу розширюють клас інтегрованих функцій, включаючи в них функції, для яких границі інтегральних сум не існує.
58.Поняття верхньої та нижньої сум Дарбу. Вла-сті сум Дарбу. Формулювання критерію інтегрованості.Приклади застосування.
Позначимо mk=inf f(x), xє[xk; xk+1], MK=sup f(x), xє[xk; xk+1].
Розглядаємо лише обмежені функції mk, MK є R, k=0,n-1
Нижньою(верхнею) сумою Дарбу наз вираз S*(T)= mk∆xk
(S*(T)= Mk∆xk.
Влаcтивості сум Дарбу.
1) (Т) S*(T)≤ S(T) ≤ S*(T)
2) (Т),(Т/) S*(T)≤ S*(T/) S*(T)≤ S*(T/)≤ S*(T/)≤ S*(T)
3) S*(T)= inf f(Т) {ξk}
S*(T)= sup f(T) {ξk}
4) Нижнім(верхнім) інтегралом Дарбу наз. число: І*= sup S*(T)
I*= inf S*(T)
S*(T)≤ І* ≤ I* ≤ S*(T), (T)
5) Теорема Дарбу: = I* ; = I*.
Критерій інтегрованості функцій на відрізку.
Для того, щоб неперервна на відрізку ф-ція була інтегрована на ньому, необх і достат, щоб суми Дарбу цієї ф-ції задовольняли умови.
- )=0
Наслідок1: f(x) інтегрована на [a,b]↔ ωk(f)∆xk=0, де
ωk(f)-коливання ф-ції на відрізку [xk; xk+1], тобто
ωk(f)=sup(f(x)-f(x/))= supf(x)-inf f(x), x, x/ є [xk; xk+1]
Наслідок: Якщо f(x) інтегрована на [a,b], то = =І.
Доведення критерію:
1) необхідність→ =І(за озн-нням)
За оз-ням Коші: ε>0 σ(ε) (Т) λ(Т)< σ(ε)
І-ε < S(T) < I + ε
В нерівності перейдемо до inf та sup по точках ξk.
І-ε ≤ ≤ S(T)≤ ≤ I + ε
0≤ - ≤ 2ε<3ε → - )=0
2) достатність
0 ≤ - < ε, якщо λ(Т)< σ(ε)
0 ≤ І*-І* ≤ - < ε → 0 ≤ -І ≤ - < ε
0 ≤ І - ≤ - < ε
З цих двох співвідношень маємо:
= =І.
За властивістю 1: S*(T)≤ S(T) ≤ S*(T)
=I→ I= dx, f(x) – інтегрована на [a,b].