36.Теорема Ферма.

Ф-я y=f(x) має локальний max(min) в т.х₀єХ, якщо хєО*(х₀) виконується f(x)<(>)f(x₀) або ∆y(x₀)=f(x)-f(x₀)<(>)0.

Теорема Ферма: Якщо ф-я f(x) визначена в деякому околі т.х₀, має в цій точці екстремум та похідну, то ця похідна=0.

Довед.Нехай хєО(х₀), x<x₀. Тоді складемо співвідношення: , де х₀-точка локального max.

>0 при х→х₀ f ' (x₀)>=0 (1)

Якщо ж x>x₀, тоді х₀ буде точкою локального min i <0 при х→х₀ f ' (x₀)<=0 (2). Отже, з (1) і (2) ми можемо зробити висновок, що f ' (x₀) =0.

Заув.Теорема виконується лише тоді, коли х₀ – внутрішня точка області.

37.Теорема Ролля. Її геометричний зміст.

Нехай 1)f(x) непер на відр [a,b]; 2)f(х) має скінченну або нескінченну визначеного знаку похідну на інтервалі (a,b); 3)f(a)=f(b).

Тоді ξє(a,b) така, що f ' (ξ)=0.

Геометричний зміст теореми:

Д овед.1)f(x)непер на[a,b] m<=f(x)<=M xє[a,b], т.М-досягається.

-якщо m=M f(x)=m=M=const f ' (x)=0 в усіх точках(теорема виконується).

-якщо m<M, то в силу умови 3) f(a)=f(b) m i M не можуть досягатись одночасно в кінцях відрізку, тому хоча б одне з них досягається у внутр точці відрізка. Нехай ξ є(a,b)така,що f(ξ)=m (m-min значення ф-ї) ξ – т. локаль-

ного min, f ' (ξ) f ' (ξ)=0.

Зауваж. Всі вимоги теореми Ролля є принципово важливими.

Теорема Ролля має простий геом зміст: якщо крайні ординати кривої у = f(x) рівні, то, згідно теоремі Ролля, на кривій у = f(x) знайдеться точка, в якій дотична до кривої паралельна осі Ох.

38.Теорема Лагранжа про скінченний приріст, її геометричний зміст.

Нехай: 1) f(x) непер на відр [a,b]; 2) f(х) має скінченну або нескінченну визначеного знаку похідну на інтервалі (a,b). Тоді ξ є(a,b) така, що

– ф-ла скінченних приростів Лагранжа.

Довед.Розглянемо допоміжну ф-ю F(x)=f(x)-λx, λєR - непер на відр [a,b], має похідну на інтервалі (a,b). Підберемо λ так, щоб виконувалось F(a)=F(b): f(a)-λa=f(b)-λb; λ=[f(b)-f(a)]/b-a – при вказаному λ F(x) задовольняє теорему Ролля, тому ξ є(a,b) така, що F ' (ξ)=0.

Маємо: 0=F ' (ξ)=f ' (ξ)-λ f ' (ξ)=λ f ' (ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a) f(b)-f(a)=f ' (ξ)(b-a).

Геометричний зміст теореми:

α – кутовий коефіцієнт січної

tgα=[f(b)-f(a)]/(b-a)

На інтервалі (a,b) знайдеться т.ξ така, що дотична до графіка y=f(x) в т.(ξ, f(ξ)) буде паралельною січній АВ.

Наслідок1.Якщо ф-я f(x) – непер на [a,b], має похідну на інтервалі (a,b), при чому ця похідна=0, то ф-я f(x) є const на [a,b].

Довед. Беремо довільні точки х₁, х₂ є [a,b] і домовимося, що x₁<x₂. Розглянемо ф-ю на відр [x₁, x₂]. Тут f(x) не перерв на [x₁, x₂], диференційо-вна; f ' (x)=0, xє (x₁, x₂). Застосуємо теорему Лагранжа: ξ є(x₁, x₂) і виконується f(x₂)-f(x₁)=f ' (ξ)(x₂-x₁). Отже, f(x₁)=f(x₂). В силу довільності вибору х₁, х₂ маємо f(x)=const, x є [a,b].

Наслідок2.Якщо ф-я f(x) не перерв на деякому пром. (скінченному або нескінченному) і має похідну=0 в усіх точках цього проміжку, крім можливо, скінченної множини його точок, то ф-я f(x) постійна на цьому проміжку(стала).

39.Теорема Коші про середнє значення.

Нехай: 1) Ф-ї f(x) і g(x) непер на відр [a,b]; 2) f(х) і g(x) диференційовані (скінченна похідну на інтервалі (a,b)); 3) g ' (x)не=0, х є (a,b). Тоді ξ є(a,b) така, що виконується:

Зауваж.g(a)не=g(b), бо інакше g ' (ξ)=0(з ф-ли Лагранжа), що суперечить умові 3).

Довед. Розглянемо допоміжну ф-ю F(x)=f(x)-λg(x),

F(x)=f(x)-f(a)- (g(x)-g(a)). F(x) – диференц і неперерв в усіх точках [a,b]. Очевидно, F(a)=F(b)=0. Отже, для F(x) викон умови теореми Ролля ξ є(a,b) така, що виконується F ' (ξ)=0 F ' (x)=f ' (x)- g ' (x), тому f ' (ξ)- g ' (ξ)=0 =f ' (ξ) / g ' (ξ).