67. Критерій квадровності плоскої фігури. Приклад необмеженої фігури скінченної площі.

Якщо μ(X) скінчене є R, то Х наз квадровною або вимірною.

μ(X)- міра Х.

Озн-ня : μ_*(X)= sup μ(E), E ∁ X/

μ*(X)= inf μ(E), E ) X

E, E - многокутники.

μ(Х)= μ_*(X)= μ*(X) – тоді Х вимірна.

Якщо Х обмежена, то її площа скінчена.

Якщо Х необмежена, то взагалі кажучи, μ(Х)= + , але існують необмежені фігури скінченної площі.

Приклад. Необмежена фігура, але площа скінченна.

Площа стартового квадрату = 1.

+ + + ….= = 1

(площа вежі)

68. Обчислення площ і довжин дуг кривих. Обчислення об’ємів просторових фігур.

Т.: Якщо ф-ції х=φ(t) I y=Ψ(t) мають на сегменті [α,β] неперервні похідні, то крива L, визначена параметричними рівняннями, напрямлена і довжина l її дуги може бути вирахувана по формулі:

Якщо ф-ції х=φ(t) і y=Ψ(t) і х(t) мають на сегменті [α,β] неперервні похідні, то крива L, може бути вирахувана по формулі:

Якщо крива L є графіком ф-ції у=f(x), що має на сегменті [a,b] непевну похідну f^/(x), то крива L мпрямляєма і довжина l дуги L ….:

Нехай ф-ція у=f(x) неперервна на сегменті [a,b]. Тоді тіло Е, утворене обертанням навколо осі Ох криволінійної трапеції, обмеженої гр.-ком ф-ції f(x),ординатами в точках a і b і відрізком осі Ох від a до b, кубуюче і його об’єм V може бути знайдений по формулі:

69. Невласні інтеграли першого і другого роду. Критерій Коші збіжності невласного інтегралу.

Нехай ф-ція f(x) визначена на х є [a,b]; Припустимо, що є [a,b] ф-ція f(x) інтегрована на [a, ] Тоді існує F( ) = dx і ця ф-ція є непер на [a,b)

НВІ ф-ції f(x) [a,b) наз границя dx = dx.

Якщо границя існує і скінчена, то НВІ наз збіжним(існує);

Якщо границя не існує або нескінчена, то НВІ не існує;

Якщо границя нескінчена, то НВІ наз розбіжним.

Визначений інтеграл є частинним випадком невласного інтегралу:

Якщо b є R, f(x) – інтегрована на [a,b] dx.-----ВІ.

F( )→ F( ),

Розрізняють НВІ:

І роду: b=+ , f(x) інтегрована на [a, ], є [a; + )

dx = dx

ІІ роду: b є R, f(x) не обмежена в б.-я. околі т В.

dx = dx

Ознака Коші:

Т: dx – збіжний ↔ ε >0 ή є [a,b) таке, що ^/, ^// є [ή,b) виконується | dx|<ε.

Доведення: Теорема є переформулюванням ознаки Коші існування границі ф-ції F( ) = dx

70. Невласні інтеграли від невід’ємних ф-цій.

Т:Якщо ≥ 0,х є [a,b),то dx збіжний ↔ с>0 таке,що ή є[a,b) викон dx ≤ с (множина інтегралів обмежена)

Дов.: інтеграл збіжний, якщо існує скінченна є R; = dx. Так як ≥ 0 беремо ^/>ή, тоді = dx = dx + dx ≥

Отже, , ≤с→ існує є R.

Т.(Ознака порівняння): Якщо 0≤g(x)≤f(x), x [a,b), тоді:

1) dx збіжний → dx збіжний

2) dx розбіжний → dx розбіжний

Дов:1) попередня теорема→ dx обмежена, ή є[a,b)→за властив НВІ → dx ≤ dx → dx обмежена → dx збіжний.

2) Від супротивного. Нехай dx розбіжний, а dx збіжний →

dx обмежена, ή є[a,b) → dx ≤ dx → dx обмежена → dx збіжний, що суперечить умові.

Наслідок. (Гранична ознака порівняння).

Нехай ф-ція ≥ 0, > 0, х є [a,b) та нехай існує = k, тоді 1) якщо dx збіжний та 0 ≤ k < , то dx збіжний.

2) якщо dx розбіжний та 0 ≤ k < , то dx розбіжний.