21.Різні форми запису неперервності функції в точці.

Введемо інші позначення і перепишемо означення неперервності:

Озн. f(x) непер в т. х₀ є Х ↔ ))=0.

Позначимо: х-х₀ – приріст аргумента.

∆у= )= ) – приріст ф-ції в т. х_о.

Отже, ОЗН: непер в т. х_о є Х ↔ =0.

Лема 1: Якщо є R та х₀ є Х то непер в т. х_о↔а= ).

Лема2:Якщо х₀єХ та f(x₀) → непер в т.х_о

Озн.: Точка х_о наз ізольованою точною мн. Х, якщо О(х_о) такий, що

Х О(х_о)= {x}- перетин скл лише з однієї точки х_о

Озн.: Точка х_о наз граничною точкою мн. Х, якщо б-я окіл т. х_о містить точки Х відмінні від х_о.

х_о –точка дотикання Х, якщо х_о є ізольованою або граничною точкою Х.

Лема3: Б-я ф-ція неперервна в кожній ізольованій точці мн-ни свого виз-ня.

Дослідження ф-цій на непер досить проводити лише в граничн точ-х Х.

Озн. Точка х_о наз точкою розриву ф-ції f(x) якщо х_о Х або ф-ція не є неперервн в цій точці.

22. Неперервність оберненої функції.

Лема1:Якщо на , , то є однозначною, на .

Теор:Якщо і неперервна на [a,b], , то та - однозначна, , неперервна на [A,B].

Дов:Доведемо, що .

(за теор.Больц-Коші)

За Лемою1 досить довести неперервність

, тоді

Доведемо від супротивного:

Нехай , зовні якого міститься нескінчена кількість членів послідовності {x_n}

Виділимо підпослідовність, яка буде збіжною:

Тобто, ми отримали суперечність.

Теор:Якщо і неперервна на (a,b) та , то та є однозначною, та неперервною на (A,B).

Заув:a,b і A,B можуть бути як скінченими, так і нескінченими.

23. Теорема Вейєрштраса про неперервну на відрізку функцію

Функція називається неперервною на множині якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини

Теорема Вейєрштраса: Будь яка неперервна на відрізку функція обмежена і досягає на ньому своєї верхньої та нижньої межі

Довед:

доведемо що

,

Оберемо довільну послідовність , : .

Зауважимо, що →{x_n} обмежена→теор Больц-Веєрш. -підпослідовність {x_n} така, що →х₀, k , .

Для викон. <f( , f( )→β при k

За лемою про 2 міліціонерів:

=

24. Теорема Больцано-Коші.

Нехай ф-я f(х) непер на відрізку [а,b]. Познач f(а) = А, f(b) = В, → С проміжного між А і В [a,b], таке, що f(ξ)=С.

Доведення: для визначеності вважаємо, що А <В. С: А<С<В. Розіб’ємо відрізок [а,b] навпіл. Якщо f =С,то ξ= .Якщо зн-ня ф-ції всередині f <С, то позначимо [a₁,b₁]=[ ,b]. f >С, [a₁,b₁]=[ ]

b₁-a₁= . f(a₁)<C<f(b₁).

Продовжуємо процес розбиття. На n-му кроці або одержимо, що всередині відрізка ф-ція набуває зн-ня С і точка знайдена або одержимо відрізок [a_n,b_n] [a_n-1,b_n-1] [a,b].

b_n-a_n= →0 I n→ .

f(a_n)<C<f(b_n).→f(ξ)≤C≤f(ξ)

Маємо с-му вкладених стяжних відрізків, тому існує єдина точка ξ, що є перерізом всіх відрізків і така, що ξ= =

f(ξ).

Наслідок. f(ξ)=С. дов.

Якщо ф-ція неперервна на відрізку і на його кінція набуває зн-ня різного знаку, то на цьому відрізку існує принаймні одна точка, в якій ф-ція обертається в 0.