42.Формула Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа.
Формула Тейлора Теор.(теор Тейлора). Нехай ф-я f(x) має в деякому околі т. а похідну порядку n+1 (n – б-я фіксований номер). Нехай, х — б-я знач аргумента з вказаного околу, p —б-я додатнє число.Тоді між точками а і х знайдется точка ξ така, що справедлива наступна ф-ла:
(1)
де (2).
Фла (1) назив ф-лою Тейлора (з центром в т. а), а вираз Rn+1(x) назив залишковим членом. Залишк член може бути записаний не лише у вигляді (2), але і в других виглядах. Принято назив залишк член, запис у вигляді (2), залишк членом в загальній формі.
Довед. Позначимо φ(х, а) многочлен відносно х порядку n, так, що:
. (3)
Далі позначимо символом Rn+1(x) різницю (4)
Теор буде довед,якщо ми встановимо,що Rn+1(x) визнач за ф-лою (2).
Фіксуємо б-я знач х з околу, вказаного в формулюв теор. Будемо вваж, що х > а. Позначимо через t змінну велич, що є [а, х], і розглянемо допоміж ф-ю ψ(t) наступ вигляду: (5), де (6). Детальніше ψ(t) можна записати:
(7).
Наша ціль — виразити Q(x), виходячи з властивостей введеної нами ф-ї ψ(t). Покажемо, що ф-я ψ(t) задовольн на [а, х] всім вимогам теор Ролля.
З ф-ли (7) і з умов, накладених на ф-ю f(x), очевидно, що ф-я ψ(t) неперерв на [а,х] і диференц на цьому відр. Доведемо, що ψ(а) = ψ(х) = 0. Покладемо в (5) t = а і застосувавши (6), будемо мати:
Звідси, на осн (4) отримаємо =0. Рівність = 0 виплив з ф-ли (7). Отже, для ф-ї на [а, х] виконуються всі умови теор Ролля. На основі цієї теор всеред [а, х] знайдеться т. ξ така, що:
Знайдемо . Диференціюючи рівність (7), будемо мати
(9).
Легко бачити,що всі члени в правій ч-ні(9),за виключ останніх 2-х, взаємно знищуються. Таким чином, (10)
Прийнявши в ф-лі (10) t =ξ і використавши (8), отримаємо:
Cпівставивши(11) і (6), остаточно будемо мати:
. Теорема доведена.
Залишковий член в формі Лагранжа.Вище ми встановили ф-лу Тейлора з залишковим членом в загальній формі. Тут ми встановимо інше можли- ве представлення для залишкового члена. Для початку дещо змінимо ф-лу для залишкового члена (2). Так як т. ξ лежить між точками а і х, знайдеться таке число θ з інтервалу 0 <θ< 1, що ξ-а = θ(х-а). При цьому
ξ=а+θ{х-а),
х-ξ=(х-а)(1-θ). Таким чином, ф-ла (2) може бути
переписана у вигляді
Розглянемо тепер важливий частковий випадок ф-ли (12):
р =n+1 – він приводить нас до залишкового члену в формі Лагранжа:
Залишковий член в формі Лагранжа нагадує наступний, черговий член ф-ли Тейлора, лише тільки (n+1)-а похідна ф=ї f(t) знаходиться не в т. а, а в деякій проміжній між а і х т.ξ=а+θ(х-а).
43.Необхідна та достатня умова монотонності функції на інтервалі.
Для того щоб диф на інтервалі ф-ія зростала(спадала)на ньому необхідно і дост щоб її похідна в усіх точках інтегралу була невідємною(недодатньою)
Якщо перша похідна ф-ції в усіх точках додатня(відємна) то ф-ія строго зростає(строго спадає)
↔ х Є(а,в) f(х)≥0 V х1,х2 є(0,в) х1<х2 [х1,х2]c(а,в)
f(х) неперервна на[х1,х2] диф (х1,х2) за теор Лагранжа f(х2)-f(х1)=f”(ξ)(х2-х1),ξ(х1,х2)
f(х2)≥f(х1)
якщо f(х)↑↑
→ f(х)↑,х є(о,в)
f(х2)-f(х1)≥0 →f”(х1)≥0
х2-х1 , х2→х1
зауваження:якщо ф-ія неперервна на інтервалі(а,в) то має в усіх його точках невідємну(додатну)похідну то ф-ія зростає(строго) на (а,в).