25.Поняття похідної. Геометричний, механічний та ек зміст похідної

Нехай f(x), хєО(х₀) та , xєO*(x₀). Якщо існує , то вона назив похідною ф-ї в т.х₀

Познач:

y^' (x₀); y^'|_x=x0; ; .

Надалі, крім окремих випадків, вваж.

Введемо прирости ∆х=х-х₀; ∆у=f(x)-f(x₀); .

З'ясуємо геом зміст похідної. Нехай f(x) визначена в О(х₀), не перерв в т.х₀, т.М₀(х₀, f(x₀)). Виберемо ∆х такий, що х+∆х є О(х₀)

М₀

∆х

х₀

х₀+∆х

Проведемо січну ММ₀:

у= ; k(∆x)= ; ; |MM₀|= . f(x) непер в т.х₀, .

Отже,при т.М по дузі кривої у=f(x) прямує до т.М₀, а січна М₀М прям до свого гранич полож-дотич до кривої в т.М₀.Р-ня дотич: .Похідна є кутовим коеф дотич до граф у=f(x)в т.М₀(х₀, f(x₀)

Зауваж.: розглянемо р-ня січної М₀М:

Якщо похідна нескінч в т.х₀

З'ясуємо механ зміст похідн:нехай ф-я у=f(x) описує закон руху матеріал точки по прямій лінії(залеж шляху у, пройденого точкою від поч відліку,від часу х).Тоді віднош визначає середню швидк точки за проміж часу від х до (х+∆х). В такому випадку похідна f^'(x), тобто дане віднош при ∆х→0, визначає миттєву швид точки в момент часу х.

З'ясуємо ек зміст похідної. Нехай ф-я u=u(t) виражає к-сть виробл продукції u за час t, і необх знати продуктив праці в момент t₀.

Очевидно, за період часу від t до t₀+∆t к-сть виробл продукт змінилась від знач u₀=u(t₀) до значення u₀+∆u=u(t₀+∆t). Тоді середня продукт праці за цей термін z_сер=∆u/∆t. Прод праці в момент t₀ можна визнач як гранич знач середньої продукт за період часу від t₀ до (t₀+∆t) при ∆t→0, тобто .

26.Зв'язок неперервності та диференційованості.

Має місце наступне твердження:

Теорема.Якщо ф-я диферент в деякій точці, то вона неперерв в цій точці.

Довед.Так, як ф-я y=f(x) диференц в т.х, то її приріст ∆у в цій точці може бути представлений у вигляді ∆у=А∆х+α(∆х) (1), де А-деяке число,що не залеж від ∆х, α-ф-я аргумента ∆х, що є НМФ при ∆х→0. Але з формули (1) випливає, що , тобто ф-я у=f(x) неперервна в т.х.

. ∆х→0 ∆у→0. Отже, ф-я не перерв в т.х₀.

Зауваж.Взагалі з неперервності диференційов не випливає. Це обумовлюється тим, що існують ф-ї, неперервні в деякій точці, але вони не є диференційованими в них. Прикладом такої ф-ї може слугувати y=|x|. Очевидно, що така ф-я неперервна в т.х=0, але вона не є диферент в ній.

27.Необхідна та достатня умова диференційованості ф-ї.

Озн. Ф-я у=f(x), визначена в О(х₀) назив диференційованою в т.х₀, якщо викон ∆у=А∆х+О(∆х), ∆х→0, АєR, ∆у-приріст ф-ї в т.х₀.

Теорема.Ф-я диференційов в деякій точці тоді і тільки тоді,коли вона в цій точці має скінченну похідну.Довед. f(x)дифер в т.х₀єR ∆у= А∆х+О(∆х). Беремо ∆хне=0, то ∆у/∆х= А∆х+О(∆х)/∆х→ . f '(x₀)=A.

Нехай .

. доозначимо таким чином: α(0)=0.

Тоді

28.Поняття диференціалу.Геометрич та механіч зміст диференціалу.

Ф-я у=f(x), визначена в О(х₀) назив диференційованою в т.х₀, якщо викон ∆у(х₀)=А∆х+О(∆х), ∆х→0, АєR, ∆у-приріст ф-ї в т.х₀.

Озн.Диференціалом ф-ї у=f(x) в т.х₀ назив лінійна ч-на приросту ф-ї і познач dy=A∆x.

Зауваж.1)якщо А 0, то

о(∆х)=о(А∆х)

∆у=dy+o(dy) ∆y dy, ∆x→0.

2)y=f(x)=x

dy=∆x dx=∆x

Тому домовляються позначати приріст не залеж змінної як її диференціал.

Отже, dy=Adx.

3)Відомо, що для диференц в т.х₀ ф-ї А=f '(x₀). Тому dy= f '(x₀)dx.

Геометричний зміст диференціала:

t gα= f '(x₀)

∆M₀AB: AB=∆xtgα= f '(x₀)∆x

Отже, AB=dy(x₀).

Отже, диференціал ф-ї в т.х₀=приросту ординати дотичної до графіка у=f(x) в т.М₀, що відповідає приросту аргумента ∆х.

29-30.Похідна суми, добутку, відношення ф-й

Теорема. Якщо кожна з ф-й u(х) і v(x) диференц в даній т.х то сума, різн, добуток і віднош цих ф-й (віднош при умові, що v(x)не=0) також диференц в цій точці, причому мають місце формули:

1. [u(х) ± v(x)]' = u'(х) ± v'(x),

2. [u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x),

3. [u(х)/ v(x)]'=(u'(x)v(x) - u(x)v'(x))/v²(x)

Довед. Розглянемо окремо випадки суми(різниці), добутку і відношення.

1. Нехай у(х) =u(х)±v(x).Позначимо символами∆u,∆v i ∆у прирости ф-й u(x), v(x) i у(х) в даній т.х, що відпов приросту аргум ∆х. Тоді, очевид, ∆у= у(х+ ∆х)-у(х)=[u(х+∆х)±v(x+∆х)]-[u(х)±v(x)]=[u(х+∆х)-u(х)] [v(x+∆х)-v(x)] =∆u ± ∆v.

Таким чином, при ∆хне=0, (1).

Нехай тепер ∆х→0. Тоді в силу існування похідних ф-й u(х) i v(x) в т.х існує граничне знач правої ч-ни (1),що = u'(x)±v'(x). Отже, існує гранич знач (при ∆х→0) і лівої ч-ни (1). За визначенням похідної вказане гранич знач =у'(х),і ми приходимо до потрібної рівності y'(x) = u'(х) ± v'(x).

2. Нехай далі у(х) = u(x)v(x).Зберігаючи за ∆u,∆v i ∆у ту ж суть,що і вище, будемо мати:∆у =у(х +∆х) – у(х) =u(х +∆x)v(x +∆х)-u(x)v(x)=[u(х +∆x)v(x+ ∆x) -u(х + ∆x)v(x)]+[u(х +∆x)v(x)-u(x)v(x)] (ми додали і відняли доданок u(х+ ∆x)* v(x)). Далі можемо записати:∆у =u(х +∆x)[v(x +∆x)-v(x)]+v(x)[u(x +∆x)-u(х)] = u(x+∆x)∆v+v(x)∆u. Таким чином, при ∆хне=0:

(2)

Нехай тепер ∆х→0. Тоді в силу дифференц ф-й u(х) і v(х) в т. х існують граничні знач відношень , відпов рівних u'(x) i v'(x). Далі з диференц u(х) в т. х, слідує неперерв u(х) в цій точці. Отже, існує граничне знач

lim u(х + ∆x)=u(х), ∆x→0. Таким чином, існує гранич знач правої ч-ни(2) при

∆х —>0, що= u(x)v'(x) + v(x)u'(x). Отже, існує гранич знач(при ∆х→0) і лівої ч-ни (2). За визнач похідної вказане гранич знач = у'(х) і ми приходимо до потрібної формули: y'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(х).

3. Нехай у(х) = u(x)/v(x).Тодi ∆у=у(х + ∆х) – у(х) = u(x+∆x)/v(x+∆x)-u(x)/v(x)=

(u(x+∆x)v(x)-v(x+∆x)u(x))/v(x)v(x+∆x).

Додаючи і віднім в чисел добут u(x)v(x), будемо мати:

∆y=( [u(х + ∆x)v(x)-u(x)v(x)]-[v(x+∆х)u(х)-u(x)v(x)] )/v(x)v(x+∆x)=

(v(x)[u(x+∆x)-u(x)]-u(x)[v(x+∆x)-v(x)]) / v(x)v(x+∆x)=[v(x)∆u-u(x)∆v ]/v(x)v(x+∆x)

Таким чином, при ∆xне=0: (3).

Нехай ∆х→0.В силу диференц(і неперерв)ф-й u(х) i v(x) в т.х існують гранич знач lim∆u/∆x=u'(x)при ∆х→0; lim∆v/∆x=v'(x) при ∆х→0; lim v(x+ ∆x)= v(x).Таким чином, так як v(x)не=0, існує гранич знач при ∆х→0 правої ч-ни (3), що=[v(x)u'(x)-u(x)v'(x)]/v²(x). Отже,існує гранич знач (при ∆х→0) і

лівої ч-ни(3).За визнач похідної вказане гранич знач = у'(х), і ми отримаємо потрібну формулу у'(х) =[v(x)u'(x)-u(x)v'(x)]/v²(x).Теор доведена.